光学谐振腔的图解分析与设计方法

光学谐振腔的图解分析与设计方法GraphicAnalysisandDesignMethodofOpticalResonator张光寅郭曙光著前言光学谐振腔是激光器的一个重要组成部分。它直接关系到输出激光的功率、模式特性、稳定性与光束质量，并最终影响到各种激光应用的效果。因而，对它的研究与设计一直受到人们的重视。随着各种激光器的发明与激光应用技术的发展，光学谐振腔的基本理论也逐步地得以建立。但由于谐振腔的理论一般地较为复杂，颇不便于人们掌握与运用。特别是，新的激光器（自克尔透镜锁模激光器与半导体激光泵浦固体激光器等）仍在不断地出现；而实际激光器的谐振腔问题通常是复杂的，对于它的处理方法又未达到成熟的程度。因此，发展简便的光学谐振腔的有效分析方法，有利于各种激光器谐振腔的正确选择与设计，无疑地是有实际意义的。对于光学谐振腔的分析，通常采用光束传输与变换的矩阵方法。这种方法虽已比较成熟与规范，但其分析结果多以复杂的多参数的数学公式表示，腔内光模特性的描述颇不直观。在本书中，我们以模象理论与传播圆图解方法为基础，发展了一种光学谐振腔的传播圆-变换圆图解分析方法。利用它可以简便有效地处理各种谐振腔的分析问题，并能以清晰的物理图象描述腔内的光模特性；同时，易于正确选择合理的谐振腔结构，找出有关谐振腔的最佳设计方案。在此基础上，便于以简捷的计算手续，特别是初等几何的计算方法，获得光学谐振腔的定量设计数据。在本书中，我们将通过一系列的实例，阐明这种图解分析方法，对一些常用的谐振腔做出评价，并给出一些光学谐振腔的最佳设计方案。-1-第一章光学谐振腔图解分析方法的理论基础在本章中我们将介绍光学谐振腔图解分析方法的理论基础，并着重介绍传播圆-变换圆图解方法；同时，也将介绍一些特殊的光学变换关系。§1.1高斯光束的传播特性我们知道，从激光器中输出的激光束的基本光学模可以很好的用高斯光束来描写。它沿z方向传播的电场成分可表示为[1]⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+−−=iΦwyxyxRiziwwcE222220)(2expλπλπ（1-1）此处⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=2201zwzRλπ（1-2）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=2202021wzwwπλ（1-3）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=20arctgwzΦπλ（1-4）分别为高斯光束的波面曲率半径，光斑尺寸和衍射附加相移，式中w0为束腰（z=0处）光斑尺寸；λ为激光波长。从激光器中除了可以输出基本光学模（简称基模）外，还可以输出高阶模TEMmn（m、n为包含零的正整数，m、n=0时为基模TEM00）。高阶模激光束与基模激光束共轴，均沿z方向传播，其波面曲率半径的变化仍以式（1-2）表示；其横向光斑不具有圆对称形式，而具有复杂的‘花瓣’形式。它的光斑面积约为基模光斑面积的()()[]211n21m2++（1-5）倍；其衍射附加相移则以下式表之：()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=20mnarctg1nmwzΦπλ（1-6）在分析光学谐振腔输出的激光模时，如若我们得知了基模的传播特性，基于上面所述，也就容易推知高阶模的传播特性。在实际的激光应用中，我们更感兴趣的是基模激光束，因为它较之高阶模具有最小的发散角：-2-02)(2wzzzwπλθ=∞→=（1-7）与更好的聚焦特性，即它经透镜聚焦后具有更小的聚焦光斑，且光束的能量按高斯函数的平方关系更多地集中于光斑的中心。因此，我们在以后的关于光学谐振腔的图解分析中只讨论输出基模光束的光学谐振腔问题。因而，基模高斯光束的传播规律仍是我们最为关心的。为了更方便地描写高斯光束的传播规律，在工作[2]中曾引入一复参数q，它定义为211wiRqπλ−=（1-8）此处R的正负值规定为，从光束传播方向来看，波面凸者为正值，凹者为负值。利用这一复参数，高斯光束的传播规律可简单地表示为zqq+=0（1-9）此处λπ2000wiizq==（1-10）为束腰处的复参数。由式（1-8）、式（1-9）和式（1-10），我们不难导出式（1-2）和式（1-3）的关系。将高斯光束的传播规律与通常发自点光源的球面波的传播规律进行比较，可以看出其含义。我们知道，后者的传播规律可由如下式子描写：zRR+=0（1-11）此处R0，R分别为r0与r0＋z处的球面波的波面曲率半径（见图1-1）。对比式（1-9）和式（1-11）可以看出，高斯光束的复参数q类似有复数波面曲率半径的特点。从图1-1的图示中我们可以更好地看出两者的传播规律的异同。事实上，利用式（1-8）、式（1-10）、式（1-2）、式（1-3）和式（1-4）的关系，可rr0z(a)qz(b)q0图1-1（a）发自点光源的球面波的传播规律与（b）高斯光束的传播规律的比较图示-3-将式（1-1）改写为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−=qyxziqqcE22exp220λπ（1-12）这一关系式与发自点光源的球面波的旁轴传播关系式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−=RyxziRRcE22exp220λπ（1-13）在形式上是相同的（见图1-1（a））。由此，我们可以将高斯光束等效于坐标原点取在束腰处的旁轴复球面波（见图1-1（b））。正是从这个意义上讲，高斯光束的复参数q等效于复球面波的复半径。以复半径表达的复球面波实际上是在有限空间内传播的电磁波场的一种基本形式。由式（1-3）和式（1-8）不难证明，当w0→0时，q→R，这时，式（1-12）就过渡到式（1-13）。由此可知，以实半径表达的实球面波，仅仅是以复半径表达的复球面波的一种特殊情况。它相当于w0=0的一种基本光学模。然而，w0=0的基本光学模，从能量观点来看是没有实际意义的，因而实际上也是不存在的。因此，以复半径表达的复球面波，即高斯光束，较之以实半径表达的实球面波更具有普遍意义。以式（1-8）定义的复半径q既反映高斯光束传播至任何处的波面曲率半径，又反映该处高斯光束的光斑尺寸这两个物理量。式（1-9）则反映它随传播距离的变化。而由式（1-12）可知，qq0还反应高斯光束在传播过程中的振幅变化和衍射引起的附加相移。由此可知，上述以复半径表达的复球面波可以更完全地反映在有限空间中传播的光波的传播规律。§1.2传播圆图解方法利用传播圆图解方法[2,3]可以形象地描写高斯光束的传播规律。首先，我们引入一束参数b0，它决定于如下关系式：πλ00bw=（1-14）这时，式（1-2）和式（1-3）可改写为2220zzbR+=（1-15）0220bzbw+=πλ（1-16）由上面两式可以看出，高斯光束传播特性，除与激光波长有关外，唯一地决定于束参数b0值。基于这个特点，我们引入高斯光束的两个侧焦点Fl，Fl'，它们位于-4-高斯光束的束腰截面内，对称地分置于光轴的两侧，两者的距离为2b0（见图1-2）。确定了侧焦点Fl，Fl'后，就可以通过作两种传播圆的方法来描写高斯光束的传播特性。这两种传播圆具体规定如下：（1）σ圆它们是通过侧焦点Fl，Fl'和光轴上任意点P处的一些圆。任意点P处的波面曲率半径R等于通过该处的一个σ圆的直径（见图1-2）。因此，可以通过作一系列的σ圆来决定高斯光束在光轴上各点的波面曲率半径及其在传播过程中的变化（见图1-3）。bπPRzOFlFl'σb0图1-2传播圆：σ圆与π圆（2）π圆它们是通过侧焦点Fl，同时与光轴相切的一些圆（见图1-2）。切于光轴上P点处的π圆的直径b可用来确定该处的高斯光束的光斑尺寸w，它可按下式计算：πλbw=（1-17）通过作光轴上各点处的π圆，则可以确定光轴上各点处高斯光束的光斑尺寸。-5-π2π1FlFl'σ4σ1σ2σ3R1R2R3R4R0w0w1w2w4w3图1-3由传播圆描写的高斯光束传播过程中R与w的变化由图1-2所示的几何关系不难证明式（1-15）的关系和下式的关系：0220bzbb+=再将其代入式（1-17），也就是立即证明了式（1-16）的关系。因此，传播圆所描写的几何关系，正是式（1-15）和式（1-16）的图解。由上述可知，对于任一高斯光束，只要确定了它的侧焦点或束参数b0，就可以通过作一系列的σ圆和π圆来描写它的传播特性。由图1-3还可以看出，只要知道了光轴上任意两处的高斯光束的波面曲率半径R值，或任意点处的波面曲率半径R值与光斑尺寸w值，就可确定高斯光束的侧焦点，因而，也就可确定高斯光束的整个传播特性。这在分析光学谐振腔的光模特性时是十分有用的。§1.3模象理论在实际的激光谐振腔内常包含有透镜、类透镜和折迭反射镜等成象元件。因此，有必要弄清高斯光束通过透镜的变换规律，才能更好地分析光学谐振腔的光模特性。在工作[4]中曾利用菲涅耳衍射理论导出了光学模成象规律的三个基本关系：（1）光学模成象规律之一一高斯光束通过一薄透镜F变换时，若q和q′分别为透镜入射面与出射面处高斯光束的复参数，f为薄透镜F的焦距，则其变换关系可表示为fqq111−=′（1-18）这一变换关系的意义不难明白。若我们以高斯光束的复参数q的定义式（1-8）-6-代入式（1-18）；同时考虑到薄透镜的特点，光束在通过薄透镜前后的光斑尺寸不变，即有ww=′（1-19）则在此情况下，式（1-18）转变为fRR111−=′（1-20）此式表明，高斯光束在薄透镜F入射面处的波面曲率半径R按一般的球面波的光学变换关系转变为出射面曲率半径R′。在图1-4中示出上述变换关系的示意图。R'Rww'F图1-4高斯光束通过一薄透镜F的变换关系之一的示意图（2）光学模成象规律之二一高斯光束通过一薄透镜F变换时，对于‘物’方高斯光束的任一‘物’波面R，均可在‘象’方找到与之对应的‘象’波面R′，此‘物’、‘象’两波面在光轴上的交点位置及其曲率中心的位置分别满足如下两个简单的物象变换关系：fdd111=′+（1-21）fRdRd111=′−′++（1-22）此处d与d′分别为‘物’波面R与‘象’波面R′与光轴的交点离薄透镜的距离，前者在透镜的左方为正值，后者在透镜的右方为正值，否则为负值；R与R′分别为波面R与R′的曲率半径值；同时，还存在如下一个简单的物象变换关系：ddww′=′（1-23）即‘物’波面R处的高斯光束的光斑尺寸w与‘象’波面R′处的光斑尺寸w′之比等于物距d与‘象’距d′之比。上述高斯光束的模象变换关系示于图1-5。-7-qq'wOO'RR'Fw'dd'd+Rd'-R'图1-5高斯光束通过一薄透镜F的变换关系之二的示意图上述理论的结论，在工作[4]中是利用菲涅耳衍射理论加以证明的。但证明方法较为复杂；同时，没有明确地给出它们的适用条件。我们在工作[5]中，直接利用上述高斯光束的传播与变换的两基本公式（1-9）与式（1-18），简便地导出了式（1-21）至式（1-23）三个基本关系式。设‘物’波面R和对应的‘象’波面R′处的高斯光束的复参数分别为q和q′（见图1-5），利用式（1-9）与式（1-18），则有fdqdq111−+=′−′或⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′−′++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′−=′fdfqfddddqfdq11若设‘物’波面和对应的‘象’波面与光轴的交点位置满足式（1-21）的物象关系，则上式可简化为dfqdfdfq′−−′−−=′111将式（1-8）复参数的具体表达式代入上式，并使上式两边的实数部分和虚数部分各自相等，便可得如下两关系式：dfRdfdfR′−−′−−=′11122wwdfdf′=′−−再利用式（1-21）的关系，则上面两式可分别导出式（1-22）和式（1-23）。于是，上述高斯光束的模象变换的基本关系便得证。（3）光学模成象规律之三-8-高斯光束通过薄透镜F变换，物象两方的束腰参数遵从一定的变换关系。图1-6示出其中的图解关系。根据§1.2节中所述的传播圆的传播规律，物象两方的高斯光束的侧焦点Fl1与Fl2应共同地落在透镜F处的πf圆的圆周上；透镜F两侧的波面的σf1圆与σf2圆应分别通过物象两方侧焦点Fl1与Fl2。由图中所示的几何关系，可得111bfldbf+=，222bfldbf+=（1-24）l1b1FπfFl