AN-1067相位噪声和抖动的功率谱密度：理论、数据分析和实验结果

OneTechnologyWay•P.O.Box9106•Norwood,MA02062-9106,U.S.A.•Tel:[phone]•Fax:[phone]•|Page1of20简介模数和数模转换器采样时钟内的抖动会对可实现的最大信噪比造成限制（参见参考文献部分vandePlassche著《集成模数和数模转换器》）。本应用笔记阐述了相位噪声和抖动的定义，绘制了其功率谱密度，介绍了时域和频域测量技术，解释了实验室设备的不利因素并提供这些技术的校正要素。所提出的理论有实验结果支持，可用于解决实际问题。概述电子设备有多种技术可以生成时钟。电路包括R-C反馈电路、定时器、振荡器和晶体及晶体振荡器。根据具体电路要求，人们可能接受高相位噪声（抖动）的廉价时钟源。但是，最近的新器件要求更出色的时钟性能，也就是更昂贵的时钟源。人们对转换器采样信号的频谱纯度也提出同样的要求，尤其是在当前高性能转换器测试过程中使用频率合成器作为时钟源时。下面章节介绍了相位噪声和抖动的定义。然后结合相位噪声和抖动，通过数学推导形成其频率表示形式。频域表示法或功率谱密度用来直接衡量相位噪声/抖动。所建立的理论和模数和数模转换器相关。各种信号采用频谱分析仪和示波器来测量。最后，结合实验结果，在AD9235模数转换器（ADC）上应用理论。相位噪声和抖动的功率谱密度：理论、数据分析和实验结果作者：GilEngelAN-1067应用笔记AN-1067应用笔记Rev.0|Page2of20目录修订历史2010年4月—修订版0：初始版简介....................................................................................................1概述....................................................................................................1修订历史...........................................................................................2定义....................................................................................................3相位噪声......................................................................................3抖动...............................................................................................3功率谱密度.......................................................................................5示例1............................................................................................6示例2—相位噪声......................................................................6示例3—抖动...............................................................................7转换器应用.......................................................................................8示例1............................................................................................9测试设备.........................................................................................10示波器.........................................................................................10频谱分析仪................................................................................10检验.............................................................................................11实验结果.........................................................................................12信号1..........................................................................................12信号2..........................................................................................12信号3..........................................................................................13高速转换器.....................................................................................15结论..................................................................................................17参考文献....................................................................................17应用笔记 AN-1067Rev.0|Page3of20定义相位噪声和抖动有多种解释。在本应用笔记的背景中，相位噪声和抖动定义如下：假设有正弦信号(1)其中：ω=2πf。f为所需频率。A为恒定相位偏移。1.00.80.60.40.20–0.2–0.4–0.6–0.8–1.0sin(ωt)08932-00100≤ωt≤2/23/22图1.归一化正弦信号相位噪声相位噪声定义为任意函数Φ(t)，这样公式1变成(2)图2.带相位噪声的正弦信号函数Φ(t)可由与ωt,无关的频率分量所组成，例如热噪声、散粒噪声和1/f噪声（闪烁噪声）。但在大多数情况下，它被模型化为高斯噪声（见参考文献部分Manassewitsch著《频率合成器理论和设计》第三版）。同样地，采样时钟可视为以固定时间间隔τ重复上升沿和下降沿的周期性方波，使得(3)1.51.00.50–0.500.51.01.52.0PERIOD()08932-003图3.采样时钟抖动抖动可视为固定时间间隔τ的加性时间变量Δ(t)，得出(4)1.51.00.50–0.500.51.01.52.0PERIOD()08932-004图4.带抖动的采样时钟同样地，Δ(t)一般特征化为高斯噪声。AN-1067应用笔记Rev.0|Page4of200–20–40–60–80–100–120–140–160–180100105101010151020FREQUENCY(MHz)NORMALIZEDPOWER(dB)08932-005图5.振荡器单边带噪声频谱噪声分析直接超过5kHz直到有源器件在高频下受到限制。低于5kHz的噪声超过散粒噪声和热噪声。该噪声和频率成反比并被识别为1/f噪声。图5所示为振荡器的典型噪声谱（见参考文献部分Manassewitsch著文章）。应用笔记 AN-1067Rev.0|Page5of20功率谱密度时域信号通过傅里叶变换和频域直接相关（见参考文献部分Oppenheim著《离散时间信号处理》）。傅里叶变换可视为信号的幅度和相位谱。信号功率还可在频域中考察。功率谱或功率谱密度由下式得出(5)其中Y(ω)为y(t)的傅里叶变换。如定义一节所述，Φ(t)可以是任意干扰信号。为了简化此分析，Φ(t)设置为单一频率。假设：(6)这样公式2变为(7)结果获得一个相位调制信号y(t)，在频率fm下最大相位偏差θd（弧度），其中ωm=2πfm，无偏移，A=0。Jacobi-Anger扩展（见参考文献部分Weisstein著《简明数学百科》）表明(8)或者(9)可借助欧拉公式转化为(10)和(11)其中Jn(z)系数为第一类贝塞尔函数。使用三角恒等式，可将公式7、10和11转化为(12)从公式12中可以看到，y(t)在载波频率fc下具有一阶贝塞尔分量，在偏离载波频率的调制频率fm的倍数下具有贝塞尔加权信号。在fc=32,768Hz且fm=1024Hz时，相位偏差为500mrad（其中mrad表示微弧度）时函数y(t)的功率谱密度Syy(ω)如图6所示。图6.功率谱密度Syy(ω)图6为下式的曲线图Syy(ω)=Y(ω)×Y’(ω)其中Y(ω)为y(t)的傅里叶变换。Syy(ω)显示频率f下的功率幅度。通过单一频率fm调制的信号y(t)的功率谱密度仅在fc和fm下具有分量，幅度为贝塞尔平方。较高阶贝赛尔系数衰减极快。对数功率坐标提供出色的动态范围，表明较高阶分量同样可视为大载波分量。Syy(ω)对数计算公式如下：(13)如图7所示。图7.功率谱密度Syy(ω)的对数附加项现在清晰可见。随着相位偏差增加，载波频率幅度减少且调制项幅度增加。500mrad相位偏差将载波功率降低~12%。在小幅相位偏差时，θd1rad，J0(θd)≈1,J1(θd)≈θd/2，并且J2(θd)…Jn(θd)≈0（见参考文献部分Manassewitsch文章）。AN-1067应用笔记Rev.0|Page6of20随着相位偏差逼近零，载波功率也逼近100%。此外，小幅相位偏差有更小比例的载波频率功率分布在调制项中。这进而导致调制项和更精确地与Φ(t)功率近似。贝赛尔函数具有以下属性：(14)利用小相位偏差属性，Φ(t)的均方根（rms）功率（针对单音正弦调制）约为(15)或者(16)该相位偏差还可用均方根幅度来表示。(17)示例1对于100mrad的相位偏差θd，将此结果与正弦信号功率进行比较，当A=0.1时，均方根功率为Pe=0.005且Arms=A/√2=0.0707107，证实对于小相位偏差，调制项和可提供均方根功率的出色近似。该自变量可扩展到更复杂的调制信号。更复杂的调制函数可作为许多频率项的叠加来处理，每一项都会影响频谱。功率谱密度具有额外项，其和可表示调制信号的均方根功率。对于小幅度(θd1rad)，任意函数的均方根功率Φ(t)由下式给出(18)公式18表明相位调制信号的均方根功率等于所有分量的和减去基频（或载波频率）下的功率。对于正弦信号y(t)，相位调制产生一个对称的功率谱密度，使得均方根功率还可表示为(19)这称为单边带测量技术，通常按Hz进行（见参考文献部分Manassewi