2.2.1向量加法运算及其几何意义shalom

2.2.1向量加法运算及其几何意义由于大陆和台湾没有直航，因此2006年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机的位移是多少?上海台北香港abc上海台北香港CAB1、位移ABBCAC探究一：向量加法的几何运算法则思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ABCACBCAB思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ACBCABABC思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？ABCACBCAB从运算的角度看,可以认为是与的和。ACABBCab作法（1）在平面内任取一点OOAaAB==(2)作,bOBab作=+(3)AB这种作法叫做向量加法的三角形法则,,abab+已知向量求作向量向量加法的三角形法则位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型oOFEGEGABEOCF1F2FGOCF1F2F为F1与F2的合力它们之间有什么关系2、力的合成F1F2FF1+F2=F从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的和,力的合成可看作向量的加法.abABC作法（1）在平面内任取一点OOAaOBb==(2)作,OCab作=+(3)向量加法的平行四边形法则这种作法叫做向量加法的平行四边形法则力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型o已知向量a,b,分别用向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则作出a+babACab=+ACab=+ABC(1)同向ab(2)反向ab00aaa+=+=规定：ABC,当线时来向量是共向量,又如何作出?abab判断的大小||||||abab++与1、不共线abo·ABb+aba||||||abab++ab+ababab+||||||abab+=+2、共线(1)向同(2)反向||||||abba+=-||||||abab++判断的大小||||||abab与++BCDAa+b+ca+bb+cabcBCDAbabaa+b()()abbaabcabc数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)任意向量a,b的加法是否也满足交换律与结合律?是否成立？[例1]如图，已知a，b，求作向量a＋b.[解]法一：在平面内任取一点O，如图所示，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b；法二：在平面内任取一点O，如图所示，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC，则OC＝OA＋OB＝a＋b.[类题通法]应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．[活学活用]如图，已知a、b、c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，则OC＝a＋b＋c.[例2]化简或计算：(1)CD＋BC＋AB；(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.[解](1)CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA＝AC＋CF＋FA＝AF＋FA＝0.[类题通法]解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.[活学活用]如图，在△ABC中，O为重心，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，化简下列三式：(1)BC＋CE＋EA；(2)OE＋AB＋EA；(3)AB＋FE＋DC.解：(1)BC＋CE＋EA＝BE＋EA＝BA.(2)OE＋AB＋EA＝(OE＋EA)＋AB＝OA＋AB＝OB.(3)AB＋FE＋DC＝AB＋BD＋DC＝AD＋DC＝AC.[例3]轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置．[解]如图所示，设AB、BC分别是轮船的两次位移，则AC表示最终位移，且AC＝AB＋BC.在Rt△ABD中，|DB|＝20km，|AD|＝203km，在Rt△ACD中，|AC|＝|AD|2＋|DC|2＝403km，∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港东偏北60°，且距离A港403km处．[类题通法]利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤[活学活用]雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0m/s，现在有风，风使雨滴以433m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向．解：如图，用OA表示雨滴下落的速度，OB表示风使雨滴水平向东的速度．以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，OC就是雨滴下落的实际速度．在Rt△OAC中，|OA|＝4，|AC|＝433，∴|OC|＝|OA|2＋|AC|2＝42＋4332＝833，∴tan∠AOC＝|AC||OA|＝4334＝33，∴∠AOC＝30°.故雨滴着地时的速度大小是833m/s，方向与垂直方向成30°角向东．8.对向量运算的几何意义理解不透彻致误[典例]若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是________；当非零向量a，b(a，b不共线)满足________时，能使a＋b平分a，b的夹角．[解析]由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4；由向量加法的平行四边形法则，知|a|＝|b|时，平行四边形为菱形，对角线平分一组内角．[答案]4|a|＝|b|[易错防范]1．本题易忽视|a＋b|≥0这一条件，从而错认为|a＋b|的最小值为|b|－|a|＝－4导致答案错误．2．向量a＋b与非零向量a，b的模及方向的联系①当向量a与b不共线时，向量a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b||a|＋|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边．②当向量a与b同向时，向量a＋b与a(或b)方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.③当向量a与b反向，且|a|≤|b|时，a＋b与b方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.[成功破障]设a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为()①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.A．①②B．①③C．①③⑤D．③④⑤解析：选a＝(AB＋CD)＋(BC＋DA)＝AB＋BC＋CD＋DA＝0，∴①③⑤是正确的．C[随堂即时演练]1．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝aB．AB＋BC＋AC＝0C．AB＋BA＝0D．CA＋AC＝MN＋NP＋PM解析：选由向量加法可知AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC.B2．在矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，则向量AB＋AD＋AC的长度等于()A．25B．45C．12D．6解析：选因为AB＋AD＝AC，所以AB＋AD＋AC的长度为AC的模的2倍，故答案是45.B3.如图，在平行四边形ABCD中，(1)AB＋AD＝________；(2)AC＋CD＋DO＝________；(3)AB＋AD＋CD＝________；(4)AC＋BA＋DA＝________.解析：(1)由平行四边形法则可知为AC；(2)AC＋CD＋DO＝AD＋DO＝AO；(3)AB＋AD＋CD＝AC＋CD＝AD；(4)AC＋BA＋DA＝BA＋AC＋DA＝BC＋DA＝0.答案：(1)AC(2)AO(3)AD(4)04．如果|AB|＝8，|AC|＝5，那么|BC|的取值范围为________．解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算．答案：[3,13]5.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明：AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，∴AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC.∵PB与QC大小相等，方向相反，∴PB＋QC＝0，故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.5.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明：AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，∴AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC.∵PB与QC大小相等，方向相反，∴PB＋QC＝0，故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.根据图示填空:(1)a+d=____________(2)c+b=____________ACDBOabcdDACBDCBAEgefdcab根据图示填空:(1)a+b=________(2)c+d=________(3)a+b+d=______(4)c+d+e=______cffg例2长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).解:(1)CAD船速B水速船实际航行速度(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).在Rt△ABC中,CADB=2,=5ABBC22ACABBC2225=295.429tan,2CAB因为70CAB船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为70°ABCDEFO1(2)(3)OABCDEFOAOCBCFEOAFE例1：已知为正六边形的中心，作出下列向量（）;1OBOCOA）解：（;2ADFEBC）（.03FEOA）（补充练习例2:求向量之和.AB+DF+CD+BC+FA解:∵=AB+BC+CD+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0AB+DF+CD+BC+FA∴AB+DF+CD+BC+FA=0)4()3()2()1(edcdbadcba１.化简________)1(BCCDAB________)2(CBACBNMA________)3(DCCABDAB２.根据图示填空abcdefgABDECcfgfADMN0巩固练习:例3:如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向23km/hCBA解:如图,设用向量表示船向垂直于对岸的速度,用向量表示水流的速度ACABD以AC,AB为邻边作平行四边形,则就是船实际行驶的速度ADCBADo∴∠DAB=60答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角.o60在Rt△ABD中,AB=2,BD=23∵AD=AB+BD∴AD=4∴tan∠DAB=3课堂小结：向量加法的定义向量加法的运算律三角形法则平行四边形法则向量加法的运算()()abbaabcabc+=+++=++小结1.向量加法的三角形法则(要点：两向量首尾连接)2.向量加法的平行四边形法则(要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边)3.向量加法满足交换律及结合律课本84页习题（做书上）课本91页2、3作业本2.2.1作业