2.2.1综合法和分析法1(李用)

2.2.1综合法和分析法合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天,我们就来认识一些基本的证明方法……综合法与分析法(一)例１已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:法一：∵222≥bcbc,0a,∴22()2≥abcabc.又∵222≥caac,0b,∴22()2≥bcaabc∴2222()()4≥abcbcaabc问题1：已知,0ab，求证：2222()()4≥abcbcaabc你怎样求证？法二：要证：2222()()4≥abcbcaabc只要证：2222()2,()2≥≥abcabcbcaabc∵0,0ab∴只要证：22222,2≥≥bcbccaac又∵0,0,0abc，∴22222,2≥≥bcbccaac∴得证.分析上面两种方法的相同点与不同点?相同点:直接利用原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法──直接证明法法一：∵222≥bcbc,0a,∴22()2≥abcabc.又∵222≥caac,0b,∴22()2≥bcaabc∴2222()()4≥abcbcaabc问题1：已知,0ab，求证：2222()()4≥abcbcaabc象这种利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综合法.(又称顺推证法)变式练习3,,ccbabbacaacbcba求证：为不全相等的正数，已知例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．证明：∵A,B,C成等差数列，∴2B=A+C又∵A+B+C=，∴B=3∵a,b,c成等比数列，∴acb2根据余弦定理：Bacbcacos2222运用上面两个结论得：3cos222acaccacaca0)(2又∵B=3∴△ＡＢＣ为等边三角形变式练习2cos2cos2求证：,成等比数列cos,sin,sin成等差数列，cos,sin,sin已知.1２．在锐角三角形ＡＢＣ中，求证sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC特点:“由因导果”由已知条件出发，运用某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论的证明方法综合法用框图表示为:1PQ12QQ23QQnQQ…其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.综合法：特点:执果索因(执果索因,妙在转化!)其模式为:B1nBBA(结论)一步一步转化(已知)象这种从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、公理等）为止.这种证明方法叫做分析法.(又称倒推证法)问题1：已知,0ab，求证：2222()()4≥abcbcaabc法二：要证：2222()()4≥abcbcaabc只要证：2222()2,()2≥≥abcabcbcaabc∵0,0ab∴只要证：22222,2≥≥bcbccaac又∵0,0,0abc，∴22222,2≥≥bcbccaac∴得证.问题2:在《数学5(必修)》中，我们如何证明基本不等式(0,0)?2≤ababab指出其中的证明方法的特点.证法1:对于正数a,b,有202022≥≥≥≥ababababababab（）证法2:要证只要证只要证只要证2≤abab2≤abab02≤aabb20()≤ab因为最后一个不等式成立，故结论成立。综合法分析法表达简洁!目的性强,易于探索!问题3:(试用两种方法证明)设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写)要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)只需证a2-2ab+b2＞0成立，也就是要证(a-b)2＞0成立。而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。问题3:(试用两种方法证明)设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用综合法思路书写)∵a0,b0,∴a3+ab2＞2a2b,b3+ba2＞2ab2成立，∴a3+ab2+b3+2ba2＞2a2b+2ab2成立，∴命题得证。∴a3+b3＞a2b+ab2例3求证5273证明:因为73和52都是正数,所以要证5273只需证22)52()73(展开得2021210只需证只需证5212521因为2521成立,所以5273成立.例4求证),1(11*Nnnnnnn证明:nnnn11要证只需证112nnn只需证12242nnn即证12nn因为1n12nn成立所以nnnn11成立.显然证法2要证nnnn11只需证nnnn1111只需证nnnn11只需证11nn上式显然成立.所以nnnn11成立.因为成立.a-5-a-3a-2-aa-5aa-2+a-3a(a-5)(a-2)(a-3)a(a-5)(a-2)(a-3)06所以成立.a-5-a-3a-2-a证明:要证只需证只需证只需证练一练