任意角的三角函数

•1．对三角函数、三角恒等变换的考查：•从近几年的全国高考试卷看，试题内容主要有两个方面：一是重点考查三角函数的图象和性质，尤其是图象变换、周期、最值，题型多为选择题、填空题，但也出现中档的解答题；二是考查三角函数式的恒等变形，利用公式求值，解决简单综合问题，难度为中等；三是结合平面向量考查，有一定的综合性．融图象与性质、正余弦定理、三角恒等变换与平面向量于一体的题目有一定难度．•三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用．新课标更加突出数学的应用．•跨学科应用是三角函数的一个鲜明特点、与不等式、平面向量、数列、解析几何都可能结合起来，应重点注意与平面向量的结合．•2．对正、余弦定理的考查•解三角形实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程关键是正确分析边角关系，能依据题设条件合理地设计解题程序，进行三角形中边角关系互化．判断三角形的形状是本节中常见题型，主要方法有两种：一是利用已知条件寻找边的关系；二是寻求角的值或角的关系．有时已知中有边角混杂的式子，可用正弦定理或余弦定理进行边角互化，以达到化异为同的效果．对三角函数式的变形仍以常用的三角公式为基础．•由于近年高考命题强调以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故三角形的问题常常与其它数学知识相联系，即考查解三角形的知识与方法，又考查运用三角公式进行恒等变换的技能及三角函数的应用意识，这是命题的新方向．•1．掌握三角函数的概念、图象和性质•在复习时应充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来，而利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上有向线段表示三角函数值获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象和性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法．•2．掌握三角函数基本的三角变换•虽然三角变换的考查要求有所降低，但它终究是三角函数的基础，没有三角函数的恒等变形就谈不上性质和图象的应用，所以要立足于课本，掌握基本的三角变换．进行三角变换时，注意观察角、名称和结构的特点，从而确定三角变换的方向，避免走弯路．•3.加强三角函数应用意识的训练，特别注意求最值时能否用三角变换．•4.加强三角函数与不等式、平面向量、正弦、余弦定理的结合，解决较简单的综合题．考纲要求1.了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．热点提示1.任意角、弧度制的概念，三角函数的定义是三角函数部分的基础知识．2．在高考中会结合三角函数的其他知识进行考查，阿一般不会单独命题.•1．任意角•(1)角的分类•任意角可按旋转方向分为、、．正角负角零角•(2)象限角第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合•(3)角的度量•①角的度量制有：，．•②换算关系：1°＝rad,1rad＝()°.角度制弧度制•2．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：叫做α的正弦，记作sinα叫做α的余弦，记作cosα叫做α的正切，记作tanα在各象限符号ⅠⅡⅢⅣ口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦正正正正正正负负负负负负yx三角函数正弦余弦正切终边相同角的三角函数值(k∈Z)(公式一)sin(α＋k·2π)＝cos(α＋k·2π)＝tan(α＋k·2π)＝三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线sinαcosαtanαMPOMAT•1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()•A．第一或第三象限B．第一或第二象限•C．第二或第四象限D．第三或第四象限•解析：当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．•答案：A•2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为()•A．2B．sin2•C.D．2sin1解析：由题意圆的半径r＝1sin1，则2rad的圆心角所对的弧长为l＝2sin1.•答案：C•3．与2010°终边相同的最小正角为________，最大负角为________．•解析：设β＝2010°＋k·360°(k∈Z)，•则当k＝－6时，β＝2010°－2160°＝－150°，•当k＝－5时，β＝2010°－1800°＝210°.•∴与2010°终边相同的最小正角为210°，最大负角为－150°.•答案：210°－150°•4．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限．•解析：由已知得tanα0，cosα0，则α是第二象限角．•答案：二•5．已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．•解：∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，•∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，•则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝(4t)2＋(－3t)2＝5|t|，当t0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34；或sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.【例1】(1)如果α是第三象限的角，那么－α，2α的终边落在何处？(2)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(3)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角．解：(1)由α是第三象限的角得π＋2kπα3π2＋2kπ⇒－3π2－2kπ－α－π－2kπ.即π2＋2kπ－απ＋2kπ(k∈Z)．∴角－α的终边在第二象限；由π＋2kπα3π2＋2kπ得2π＋4kπ2α3π＋4kπ(k∈Z)．∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．(2)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是π3，∴终边在直线y＝3x上的角的集合为{α|α＝π3＋kπ，k∈Z}．(3)∵θ＝6π7＋2kπ，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．依题意0≤2π7＋2kπ32π⇒－37≤k187，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.•(1)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．•(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.变式迁移1若α是第二象限角，试分别确定α2，α3所在的象限．解：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°αk·360°＋180°(k∈Z)．(1)k·180°＋45°α2k·180°＋90°(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＋45°α2n·360°＋90°；当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋225°α2n·360°＋270°∴α2是第一或第三象限角．(2)k·120°＋30°α3k·120°＋60°(k∈Z)，当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＋30°α3n·360°＋60°；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋150°α3n·360°＋180°；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋270°α3n·360°＋300°.∴α3是第一或第二或第四象限角．•【例2】(1)在已知圆内，1rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角对的弧长．•(2)扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求它的中心角和弦AB的长．•思路分析：①确定一个扇形需要几个基本条件？②1rad是如何定义的？③扇形的周长如何表示？解：(1)如右图所示，由圆心O向弦AB作垂线，垂足为C，则C为AB的中点，∵∠AOB＝1rad，AB＝2，∴R＝，∠AOC＝12rad，AC＝1.在△AOC中，sin∠AOC＝CAOA，∴OA＝1sin12＝，即此圆心角对的弧长为1sin12.(2)如右图，令的长度为l，OA＝r，则l＝4－2r.∵S扇形＝12lr，∴12(4－2r)r＝1，解得r＝1，l＝2.令∠AOB的弧度数为α，则α＝lr＝21＝2(rad)．过O作OH⊥AB于H，则AB＝2AH＝2rsin1＝2sin1，∴扇形OAB的中心角为2rad，弦AB的长为2sin1cm.运用弧长公式l＝|α|r与扇形面积公式S＝12r2α＝12lr时，圆心角α的单位必须是弧度.•变式迁移2一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝20，即l＝20－2r(0r10)．①扇形的面积S＝12lr，将①代入，得S＝12(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25，所以当且仅当r＝5时S有最大值25.此时l＝20－2×5＝10，α＝lr＝2.所以当α＝2rad时，扇形的面积取最大值．解析：∴sin2π30，cos2π30，∴点(sin2π3，cos2π3)落在第四象限，又∵tanα＝cos2π3sin2π3＝－33，∴α＝2π－π6＝11π6，故选D.答案：D变式迁移3若一个角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝34，则a的值可能为()A．43B．±43C．－43或－433D.3解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝34，易得tanα＝3或33，则a＝－43或－433.答案：C【例4】(2009·四川模拟)(1)若0απ2，试比较α、sinα、tanα的大小；(2)若0αβπ2，试比较β－sinβ与α－sinα的大小．解：(1)如下图甲所示，连接AP，则有S△OAPS扇OAPS△OAT，即12×1×MP12×α×1212×1×AT，∴sinααtanα.(2)如下图乙所示，则sinα＝MP，sinβ＝NQ，＝α，＝β，∴＝β－α.过P作PR⊥QN于R，则MP＝NR，∴RQ＝sinβ－sinαPQ＝β－α.∴β－sinβα－sinα.•三角函数线的显著特征是具有几何直观性，利用这种几何直观性，可以使有些问题(特别是三角函数值的大小比较)得到简捷的解决.•变式迁移4已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝m(0m1)，试判断式子sinα－cosα的符号．解：若0απ2，则如右图所示，在单位圆中，OM＝cosα，MP＝sinα，∴sinα＋cosα＝MP＋OMOP＝1.若α＝π2，则sinα＋cosα＝1.由已知0m1，故α∈(π2，π)．于是有sinα－cosα0.•1．正确理解基本概念•(1)关于象限角应着重理解•①讲某角是第几象限角时，前提是这个角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，在这个前提下，才能由终边所在的象限来判定某角是第几象限角．•②在上述前提下，如果某角的终边在坐标轴上，这个角不属于任何象限，它是象限界角．•(2)关于与角α终边相同角的一般形式α＋k·360°，应着重理解：•①k∈Z；•②α是任意角；•③终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无穷多个，它们相差360°的整数倍．角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝2kπ＋3π2，k∈Z}.•2．三角函数定义的理解•理解三角函数的定义时，应注意以下几个方面．•(1)定义式的四个比值的大小都与点P在角α的终边上的位置无关，只与角的大小有关．•(2)三角函数的几何意义可通过单位圆中的三角函数线来体现，利用它可解决