机械工程控制基础 第4章

河南理工大学机械学院机械工程控制基础•第一章自动控制的一般概念•第二章控制系统的数学模型•第三章控制系统的时域分析法•第四章频域分析法•第五章控制系统的稳定性•第六章控制系统的校正河南理工大学机械学院第四章线性系统的频域分析•4.1基本概念•4.2频率特性的Nyquist图•4.3频率特性的Bode图•4.4系统的频域特征量•4.5最小相位系统与非最小相位系统河南理工大学机械学院4.1基本概念频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法。应用频率特性可以间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性法的突出优点:(1)组成系统的元件及被控对象的数学模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品质。(2)应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分析系统时，可以利用曲线，图表及经验公式，因此，用频率特性法分析系统是很方便的。河南理工大学机械学院奈奎斯特图的绘制；伯德图的绘制；本章的重点通过本章学习，应重点掌握频率特性的概念与性质、典型环节及系统开环频率特性的极坐标图和波特图的绘制和分析方法、控制系统稳定性的频域分析法、闭环频率特性的求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。河南理工大学机械学院频率特性频率响应系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。开环系统对正弦输入的稳态响应称为开环频率响应；闭环系统对正弦输入稳态响应称为闭环频率响应；河南理工大学机械学院()()sin[()]ooxtXtttXtxiisin)()()(G(s)Xi(s)Xo(s)()()sin[()]ooxtXt()siniixtXt根据微分方程解的理论，若对系统输入一谐波信号xi(t)=Xisinωt，系统的稳态输出响应也为同一频率的谐波信号，但幅值和相位发生了变化。典型的频率响应河南理工大学机械学院例1一阶系统传递函数：1)(TsKsGtXtxiisin)(系统输入函数：22)(sXsXii则：2222222222222111111)()()(sTKXssTTKXTsTTKXsXTsKsXsGsXiiiiio)arctansin(11)cos(sin11)(22/2222/22TtTKXeTKTXtTtTKXeTKTXtxiTtiiTtio瞬态分量稳态分量T21T1河南理工大学机械学院TTKXXioarctan)(1)(22则，幅值为：相位为：)arctansin(1)(22TtTKXtxio由传递函数可知，-1/T是G(s)的极点，也是系统微分方程的特征根si，由于si为负值，所以系统是稳定。随着时间的推移，当t→∞时，瞬态分量迅速衰减至零，系统的输出x0(t)即为稳态响应。所以，系统的稳态响应为：由此可知，它是与输入同频率的谐波信号！河南理工大学机械学院显然，频率响应只是时间响应的一个特例。不过，当谐波的频率ω不同时，幅值X0(ω)与相位φ(ω)也不同。这恰好提供了有关系统本身特性的重要信息。从这个意义上说，研究频率响应或者频率特性就是在频域中研究系统的特性。河南理工大学机械学院Riu2Cu1111111)()(12sRCsCsRCssUsU例2：如图所示电气网络的传递函数为若输入为正弦信号：tUumsin11其拉氏变换为：2211)(sUsUm221211)(sUssUm输出拉氏变换为：其拉氏反变换为：)arctansin(112212212tUeUumtm)arctansin(1lim2212tUumt111sin()11mUtjj河南理工大学机械学院010.8900.7070.4470.3160.2430.19600-26.5-45.0-63.4-71.6-76.0-78.7-90)(1srad)(A))((2112345幅频特性和相频特性数据0.20.40.60.81.0)(A01234512345-80°-60°-40°-20°0°)(jjG11)(河南理工大学机械学院频率特性与传递函数的关系若系统的微分方程为：)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(txbtxbtxatxbtxatxatxatxaiimimmimoononnon..……则系统的传递函数：……01110111)()()(asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmiotXtxiisin)(输入信号为谐波信号：22)(sXsXii系统输出为：……2201110111)(sXasasasabsbsbsbsXinnnnmmmmo河南理工大学机械学院若系统无重极点：*()nioiiABBXssssjsj1nitjtjtsioeBBeeAtxi1*)()(则系统的输出：式中，si为特征根；Ai、B、B*（B与B*共轭）为待定系数。对于稳定系统而言，系统的特征根si均具有负实部，则上式中的瞬态分量，t→∞，将衰减为零，系统x0(t)即为稳态响应，故系统的稳态响应为tjtjoeBBetx*)(河南理工大学机械学院tjtjoeBBetx*)(时间函数拉氏变换函数tpnnentpsL0)!1()(1101河南理工大学机械学院()()()()()()iisjsjXXBGssjGssjsjsj计算待定系数B：jXejGjXjGijGji2)(2)()(同理，*()()()22jGjiiXXBGjGjejj代入输出函数，则系统的稳态响应为[()][()]()lim()()2jtGjjtGjosoiteextxtGjXj()sin[()]iGjXtGj（欧拉公式）河南理工大学机械学院系统的幅频特性和相频特性分别为：()()()()()()oiXAGjXGj故就是系统的频率特性，它是将G(s)中的s用jω取代后的结果，是ω的复变函数。显然，频率特性的量纲就是传递函数的量纲。()()()GjGjGjjvujG由于G(jω)是一个复变函数，故可写成实部和虚部之和，即：式中，u(ω)是频率特性的实部，称为实频特性；v(ω)是频率特性的虚部，称为虚频特性。河南理工大学机械学院四、频率特性的求法1.由频率响应的定义得到频率特性从x0(t)的稳态项中可得到频率响应的幅值和相位。然后，按幅频特性和相频特性的定义，就可分别求得幅频特性和相频特性。221)()(sXsGLtxio22)(sXsXii由)arctansin(1)(22TtTKXtxio例如：前面的例子稳态响应为：根据频率特性的定义：TTKXXAioarctan)(1)()(22TeTKarctan221河南理工大学机械学院2.传递函数频率特性系统的频率特性就是其传递函数G(s)中用复变量jω替换s，也称G(jω)为谐波传递函数。例如：1)(TsKsG已知传递函数则频率特性为TeTKjTKjGarctan2211)(因此TTKjGAarctan)(1)()(22=∠G(jω)系统的频率响应为：)arctansin(1)](sin[)()(22TtTKXjGtjGXtxiio河南理工大学机械学院条件：不知道传递函数或微分方程等数学模型，不能使用上述两种方法求解，此时可以通过试验求得频率特性后，求得传递函数（在第九章详述）步骤1：改变输入谐波信号Xiejωt频率的频率ω，并测出与此相对应的输出幅值Xo(ω)与相移φ(ω).步骤2：作出幅值比Xo(ω)/Xi,对频率ω的曲线，此即幅频特性曲线；步骤3：作出相移φ(ω)对频率ω的曲线，此即相频特性曲线；频率特性系统传递函数微分方程jspjpsdtdp3.用试验方法求解河南理工大学机械学院4.频率特性的特点和作用（1）由)()()(sXsGsXio)()()(jXjGjXio当)()(ttxi时)()(twtxo并且1)]([)(tFjXi所以)()(jGjW即)()]([jGtwF这表明系统的频率特性就是单位脉冲响应的傅立叶变换。对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。频率特性分析方法始于20世纪40年代，目前广泛应用于机械、电气、流体等各类系统，成为分析线性定常系统的基本方法之一，是经典控制理论的重要组成部分。河南理工大学机械学院应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。频率特性的物理意义：频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；几点说明河南理工大学机械学院频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、权函数、传递函数一样反映了系统的固有特性。尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。河南理工大学机械学院频率特性表示法频率特性可用解析式或图形来表示。（一）解析表示幅频—相频形式：)()()()()()()(jGjGejGeAjGjGjj实频—虚频形式：)()()(Im)(Re)(sin)(cos)()()()(jQPjGjjGjjGeAjGj幅频特性相频特性实频特性虚频特性河南理工大学机械学院示例正弦输入xi(t)=Xsint作用下的频率响应。1)(TsKsG求一阶系统的频率特性及在1)()(jTKsGjGjs解：由上式可见，当T1时，A()K()0当T1时，A()K/T()-90221)()(TKjGATarctgjG)()(河南理工大学机械学院)sin(1)(22TarctgtTXKtxo对于正弦输入xi(t)=Xsint，根据频率特性的定义：(二)图示方法Nyquist图（极坐标图，幅相频率特性图）Bode图（对数坐标图，对数频率特性图）河南理工大学机械学院奈奎斯特(Nyquist)图（极坐标图、幅相频率特性图）)()()()()()()](Im[)](Re[)(jjGjeAejGjQPjGjjGjG)()()()()()(22PQarctgQPA其中，P()、Q()分别称为系统的实频特性和虚频特性。河南理工大学机械学院在复平面上，随（0~）的变化，向量G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系统的奈奎斯特图或极坐标图。易知，向量G(j)的长度等于A()（|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向绕原点转至向量G(j)方向的角度等于()（G(j)）。河南理工大学机械学院比例环节典型环节的Nyquist频率特性图传递函数：G(s)=K频率特性：G(j)=K=Kej0实频特性：P(