第5章多目标决策分析

第五章多目标决策分析例1:学校的扩建–满足入学要求：–扩建费用最少：例2:候选人选择–年龄和健康状况：–工作作风：–品德：–才能例3:学生毕业后的择业选择–收入：–工作强度：–发展潜力：–学术性：–社会地位：–地理位置：–个人偏好：多目标决策的概念系统方案的选择取决于多个目标的满足程度，这类决策问题称为多目标决策，或称为多目标最优化。反之，系统方案的选择若仅取决于单个目标，则称这类决策问题为单目标决策，或称单目标最优化。单目标决策只有决策目标的决策。第一节多目标决策的目标准则体系12第二节多维效用并合方法3第三节层次分析方法4第四节DEA方法5第五节目标规划方法5.1多目标决策的目标准则体系在多目标决策问题中，其目标或者经过逐层分解，或者依据决策主体要求和实际情况需要，形成多层次结构的子目标系统，使得在最低一层子目标可以用单一准则进行评价，称之为目标准则体系。目标准则体系的层次结构，一般用树形结构图直观表示。最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标，最下一层，其中的每一个子目标都可以用单一准则评价，称之为准则层。5.1.1目标准则体系的意义构建多目标决策问题的目标准则体系，是多目标决策分析的前提。构造目标准则体系应注意的原则：系统性原则可比性原则可操作性原则在决策信息量充分的前提下，尽量减少子目标的个数，决策分析方法思路清晰，便于在计算机上实现。5.1多目标决策的目标准则体系5.1.2目标准则体系的结构多目标决策问题的目标准则结构是复杂的，根据不同的实际情况，结构也不尽相同。通常，可将目标准则体系分成以下三种类型：（1）单层次目标准则体系（如图5-1所示）5.1多目标决策的目标准则体系（2）序列型多层次目标准则体系（如图5-2所示）目标准则体系的各个目标，均可以按序列分解为若干低一层次的子目标，各子目标又可以继续分解，这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准则给出数量评价为止。（3）非序列型多层次目标准则体系（如图5-3所示）某一层次的各子目标，一般不单是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类。相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。这类目标准则体系称为非序列型多层次目标准则体系。5.1.3评价准则和效用函数在多目标决策中，制定了目标准则体系，不同的目标用不同的评价准则衡量。因此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。多目标决策中均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准则下，确定—个结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数，得出一组效用值。这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度是综合评价可行方案的依据。5.1.4目标准则体系风险因素的处理多目标决策的风险因素，应该在目标准则体系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处理。对存在风险因素的所有目标准则都分别作这样的技术处理。于是，风险型多目标问题就转化为确定型多目标问题。第一节多目标决策的目标准则体系12第二节多维效用并合方法3第三节层次分析方法4第四节DEA方法5第五节目标规划方法a1a2：amr1r2…rsu1(a1)u2(a1)…us(a1)u1(a2)u2(a2)…us(a2)…………u1(am)u2(am)…us(am)方案评价准则各方案在评价准则下的效用值第二节多维效用并合方法5.2.1多维效用合并模型一、多维效用并合模型在图5-2中，设H表示可行方案的总效用值，即满意度，表示第二层子目标的效用值，如此类推，表示倒数第二层各子目标的效用值；表示最低一层各准则的效用值。符号“·”表示按某种规则和逻辑程序进行的效用并合运算。效用并合过程从下到上，逐层进行。最低一层各准则的效用，经过并合得到12,,,ivvv12,,,k()()()iiiwauaua21()()()ipipiwauaua1()()()kisisiwauaua图5-2序列型多层次目标准则体系一、多维效用并合模型第三层子目标的效用并合得到第二层各目标的并合效用值12(),(),,()iilivavava最后，可行方案的满意度ia12()()()(),(1,2,,)iiiiliHHavavavaim多维效用并合的最满意方案为，其满意度a)(max)(1imiaHaHH（5-1）图5-2序列型多层次目标准则体系5.2.2多维效用并合规则在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，效用并合采取不同方式进行。（一）距离规则二维效用并合的距离规则满足如下条件：当二效用同时达到最大值时，并合效用达到最大值；当二效用同时取最小值时，并合效用取零效用值；二效用之一达到最大值，均不能使并合效用达到最大值。二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离成正比例。这种并合规则称之为距离规则。设二维效用函数，),(21uuWW])1()1[(21121),(222121uuduuW（5-2）公式(5-2)可以推广到多维情形，niinunuuuW1221)1(11),,,(（5-3）成本和效益的效用并合应该按距离规则进行，由公式（5-3）知，并合效用函数22)1()1(211),(EcEcuuuuW（二）代换规则二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用均达到最高水平一样。代换规则的二维效用并合公式为)1)(1(1),(2121uuuuW2121uuuu（5-4）推广到多维情形，n维效用并合的代换规则公式为(5-5))1(1),,,(121ininuuuuW（三）加法规则二维效用并合的加法规则适用于如下情况：二效用的变化具有相关性，对并合效用的贡献没有本质差异，并且可以互相线性地补偿，即一目标效用的减少可以由另一目标效用值的增加得到补偿。加法规则的二维效用并合公式为)1(,),(21221121uuuuW（5-6）加法规则的维并合效用公式为nniiinuuuuW121),,,(（5-7）（四）乘法规则乘法规则适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代，只要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用值均为0。乘法法则效用并合更一般的计算公式是212121),(uuuuW乘法法则的二维效用并合公式为2121),(uuuuW（5-8）（5-9）n维效用并合乘法规则的计算公式为ininnuuuuuuuW12121),,,((5-10)更一般的计算公式为iininuuuuW121),,,(（5-11）也可以表示为对数形式iniinuuuuWln),,,(ln221（5-12）（五）混合规则混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系，是代换、加法和乘法三规则更为一般的情况。混合规则的二维效用并合公式2211221121),(ucucucucuuW（5-13）其中，≥－1称为形式因子。当≠0时，经过简单恒等变形，公式（5—13）可以化为较为规范的形式)1)(1(12211ucucW（5-14）混合规则的n维效用并合公式为)1(11iniiucW(5-15)5.2.3多维效用并合方法应用实例（一）问题经过统计分析测算，我国人口发展周期应是人均寿命70年。制定人口控制目标，宜以100年为时间范围。需要确定，在100年内，我国人口控制最合理的总目标是多少。（二）方案对我国总人口目标的14个方案进行决策分析，即我国总人口分别控制为2亿、3亿、4亿、5亿、6亿、7亿、8亿、9亿、10亿、11亿、12亿、13亿、14亿、15亿14个人口方案分别记为，其满意度分别设为。（三）目标准则体系目标准则体系为序列型多层次结构。为了叙述方便起见，对该体系作了适当的简化处理，共分为五个层次，如图5-3所示。ia)14,,2,1(iHi5.2多维效用并合方法5.2多维效用并合方法1.总目标100年内我国最合理的人口目标2.分目标共设四个分目标。分目标1：根据我国资源和环境条件，在决策的时间范围内，能承受的供全国人民吃和用的能力，简称“吃用”。分目标2：根据我国国民经济发展规划，与总人口目标相适应的经济实力，简称“实力”。分目标3：根据我国计划生育政策，人民群众所能接受的最低总和生育率，大约等于一对夫妇一生中平均生育孩子数，简称为。分目标4：我国总人口增长要与世界各国人口增长相适应。一个国家人口太多，将成为社会经济发展的承重负担。但人口毕竟是一二国家的重要资源，也不宜太少。一国人口与世界各国人口对比，简称“各国对比”。以上四个分目标，在计算并合效用时，将“吃用”和“实力”并合为效用值为，“最低总生育率”和“各国对比”并合为效用值。min1V2V5.2多维效用并合方法3.子目标分目标“吃用”和“实力”还不能用单一准则进行评价，需要作进一步的分解分目标“吃用”先分解为“吃”和“用”两个子目标。子目标“吃”和“用”还需要再作分解。“吃”分解为人均粮食需求和人均鱼肉需求两个更低一层次的子目标，简称“粮食”和“鱼、肉”。这两个子目标均可以用单一准则评价，无需继续分解。同样，“用”也可以分解为人均土地需求、人均空气需求、人均用水需求三个低一层子目标，简称“土地”、“空气”、“水”，不必再继续分解。这样，分目标吃用最后分解为5个最低一层子目标，其评价效用值分别为分目标“实力”可以分解为人均能源需求和人均国民生产总值两个子目标，简称“能源”和“”。这两个子目标均可以用单一准则评价，故不必再行分解，其评价效用值分别记为。分目标“最低总和生育率”()和“各国对比”均可以用单一准则评价，故不必分解，其效用值分别记为。)5,,2,1(iuiGNP76,uumin98,uu5.2多维效用并合方法（四）评价准则和效用我国总人口目标问题的目标准则体系中，最低一层共有9个子目标或分目标，分别用9个准则体系度量，测定相应的效用函数，计算各人口方案的效用值。这里，各子目标效用函数测定和各方案效用值，仅以子目标“粮食”、“土地”、“水”、“能源”、“”为例加以说明，其余子目标效用值计算结果，请参见表5-1.min5.2多维效用并合方法1.粮食我国1949年粮食平均亩产量为137斤，1979年为332.1～442.8斤（按耕地面积12亿亩或15亿亩计算），平均年增长率为3.00%～3.99%，平均年增长量为6.5～10.2斤/亩。1979年世界各国粮农年亩产水平，日本为740斤/亩，法国为591斤/亩，美国为486斤/亩。如果按此增长速度测算，100年后我国年亩产量可达到982.1～1461.8斤/亩，其平均增长率为0.8%～1.1%。根据这一预测数字，可计算出14个人口方案的人均粮食量。按照联合国粮农组织有关人均耗粮标准资料测算，总人口数≤12.6亿时，人均粮食需求量为最优值，取=12.6亿，效用值。总人口数≥64.8亿，人均粮食需求量为最劣值，取=64.8亿，。根据效用函数导出方法，可以求出“粮食”准则的效用函数（见图5-4），并计算出14个方案的效用值。N*N1)(*1NuNN0)(01Nu)(1Nuu5.2多维效用并合方法00.1)()()(1112111auauau97.0)(,99.0)(131121auau95.0)(141au图5-4粮食目标准则的效用函数5.2多维效用并合方法2.土地我国现有耕地20亿亩，占全国土地的14%。由于社会经济不断发展，非发占用耕地的现象日趋突