初高中数学衔接教材浙江省温州中学-(6)

初高中数学衔接教材乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ababab；（2）完全平方公式222()2abaabb．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()abaabbab；（2）立方差公式2233()()abaabbab；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式33223()33abaababb；（5）两数差立方公式33223()33abaababb．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）22()xabxyaby；（4）1xyxy．解：（1）如图1．1－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．1－4，得22()xabxyaby＝()()xayxby（4）1xyxy＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如图1．1－5所示）．习题一一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）652xx__________________________________________________。（2）652xx__________________________________________________。（3）652xx__________________________________________________。（4）652xx__________________________________________________。（5）axax12__________________________________________________。（6）18112xx__________________________________________________。（7）2762xx__________________________________________________。（8）91242mm__________________________________________________。（9）2675xx__________________________________________________。－1－2xx图1．1－1－1－211图1．1－2－2611图1．1－3－ay－byxx图1．1－4－11xy图1．1－5（10）22612yxyx__________________________________________________。2、342xxxx3、若422xxbaxx则a，b。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）672xx（2）342xx（3）862xx（4）1072xx（5）44152xx中，有相同因式的是（）A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）C、只有（3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式22338baba得（）A、311aaB、baba311C、baba311D、baba3113、2082baba分解因式得（）A、210babaB、45babaC、102babaD、54baba4、若多项式axx32可分解为bxx5，则a、b的值是（）A、10a，2bB、10a，2bC、10a，2bD、10a，2b5、若bxaxmxx102其中a、b为整数，则m的值为（）A、3或9B、3C、9D、3或9三、把下列各式分解因式1、3211262pqqp2、22365abbaa3、6422yy4、8224bb第二讲一元二次方程若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根2142bbacxa，2242bbacxa，则有2212442222bbacbbacbbxxaaaa；2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccxxaaaaa．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝ba，x1·x2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例1已知方程2560xkx的一个根是2，求它的另一个根及k的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－35．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，则2x1＝－65，∴x1＝－35．由（－35）＋2＝－5k，得k＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．例2已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，∴(x1＋x2)2－3x1·x2＝21，即[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得m2－16m－17＝0，解得m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例3已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴112,6,xy或226,2.xy因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．解这个方程，得x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．习题二A组1．选择题:（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（2）下列四个说法：①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73；④方程3x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－12．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝．（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|x1－x2|＝．3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．B组1．选择题:若关于x的方程x2＋(k2－1)x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（）（A）1，或－1（B）1（C）－1（D）02．填空:（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于．（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是．3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．C组1．选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A）3（B）3（C）6（D）9（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则1221xxxx的值为（）（A）6（B）4（C）3（D）32（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（）（A）α＋β≥12（B）α＋β≤12（C）α＋β≥1（D）α＋β≤1（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋4c＝0的根的情况是（）（A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝．3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－32成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221xxxx－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，12xx，试求的值．第三讲三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1