中考数学旋转与相似的典型类型总结

旋转与全等、相似的典型类型总结25.含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（0120且≠90°），得到Rt△''ABC，'AC边与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥''AB交'CB边于点E，连接BE.（1）如图1，当''AB边经过点B时，=°；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；（3）设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=13ABCS时，求AD的长，并判断此时直线'AC与⊙E的位置关系.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M是AB上的动点（不与A、B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O中作内接矩形AMPN．令AM=x．（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切（3）在点M的运动过程中，设△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少．PNMCBAO（第24题）PNMCBAO（第24题）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．(1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为________．(2)如图②，若AB＝BC，你在(1)中得到的结论是否发生变化写出你的猜想，并加以证明．(3)如图③，若AB＝kBC，你在(1)中得到的结论是否发生变化写出你的猜想，并加以证明．第25题图图1EDCBA图2CBAF图3EDCBA在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90o得到AE，连结EC．（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系（直接写出结论）；②当点D在线段BC的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（2）如图3，当点D在线段BC上运动时，DF⊥AD交线段CE于点F，且∠ACB=45o，AC＝32，试求线段CF长的最大值．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．如图甲，当AC=BC，且CE=EA时，则有EF=EG；（1）如图乙①，当AC=2BC，且CE=EA时，则线段EF与EG的数量关系是：EFEG；（2）如图乙②，当AC=2BC，且CE=2EA时，请探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；（3）当AC=mBC，且CE=nEA时，请探究线段EF与EG的数量关系，直接写出你的结论（不必证明图乙②GFECDBA图乙①GFECDAB图甲GFECDAB（第25题）已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点O,直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段AB,AD交于点M，N（不与点B，A，D重合）．设DN=x，四边形AMPN的面积为y．在下面情况下，y随x的变化而变化吗若不变，请求出面积y的值；若变化，请求出y与x的关系式．（1）如图1，点P与点O重合；（2）如图2，点P在正方形的对角线AC上，且AP=2PC；（3）如图3，点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB．25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=12.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CFkEF，则k=；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．图1（P）NDMOCBA图2PABCOMDN图3PABCOMDNBCADEFBDEAFCBAC1图2图备图东城24.等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.图1图2图3已知：如图，正方形ABCD中，,ACBD为对角线，将BAC绕顶点A逆时针旋转°（045），旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交,BCCD于点E、点F，联结,EFEQ．（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究△APQ与△AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．QPFEDCBA24．解：（1）不变；……………………………………………………………………1分45°；………………………………………………………………………2分（2）结论：S△AEF=2S△APQ………………………………………………………………3分证明：∵AEQ45°，45EAF∴90EQA……………………∴2AEAQ……………………………4分同理2AFAP……………………………5分过点P作PHAF于H……………………6分∴S△AEF11222AFEQAPAQ222APAQPHAQS△APQ…………………………………7分HQPFEDCBA图1OEDCBARQP图2OEDCBA22.如图，在AOB中，8OAOB，90AOB，矩形CDEF的顶点C、D、E、F分别在边AO、OB、AB上。（1）若C、D恰好是边AO，OB的中点，求矩形CDEF的面积；（2）若4tan3CDO，求矩形CDEF面积的最大值。24.如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，连结AE，AC和BE相交于点O.（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似23．如图，在△ABC中，BC=3，AC=2，P为BC边上一个动点，过点P作PD∥AB，交AC于点D，连结BD．（1）如图1，若∠C=45°，请直接写出：当BPPC=时，△BDP的面积最大；（2）如图2，若∠C=α为任意锐角，则当点P在BC上何处时，△BDP的面积最大图1ABCDP图2ABPCD24．现场学习：我们知道，若锐角α的三角函数值为sinα=m，则可通过计算器得到角α的大小，这时我们用arcsinm来表示α，记作：α=arcsinm；若cosα=m，则记α=arccosm；若tanα=m，则记α=arctanm．解决问题：如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上．连结ED，FG，交点为H．（1）如图1，若AE=BF=GD，请直接写出∠EHF=°；（2）如图2，若EF=25CD，GD=25AE，设∠EHF=α．请判断当点E在AB上运动时，∠EHF的大小是否发生变化若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出α．24．已知在△ABC和△DBE中，AB＝AC，DB＝DE，且∠BAC＝∠BDE．（1）如图1，若∠BAC＝∠BDE＝60°，则线段CE与AD之间的数量关系是；（2）如图2，若∠BAC＝∠BDE＝120°，且点D在线段AB上，则线段CE与AD之间的数量关系是__________________；（3）如图3，若∠BAC＝∠BDE＝，请你探究线段CE与AD之间的数量关系（用含的式子表示），并证明你的结论．图1HFGEDCBA图2ABCDEGFHACDBE图1BACDE图3EBACD图2.已知：AOB△中，2ABOB，COD△中，3CDOC,ABODCO∠∠.连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.PNMDCABOPNMDCBAO图1图2(1)如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且60ABO∠，则PMN△的形状是________________，此时ADBC________；(2)如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且2ABO∠，证明PMNBAO△∽△，并计算ADBC的值（用含的式子表示）；(3)在图2中，固定AOB△，将COD△绕点O旋转，直接写出PM的最大值.．如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，2tanB.（1）求证：AD=AE；（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.求证：AFEFDF2；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系直接写出你的结论.图1EBCAD图3EBCAD图2ECBADFP如图10-1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①请直接写出图10-1中线段BG、线段DE的数量关系及所在直线的位置关系；②将图10-1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图10-2、如图10-3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-4～10-6），且kbCGkaCEbBCaAB,,,)0,(kba，试判断（1）①中得到的结论哪个成立，哪个不成立并写出你的判断，不必证明.（3）在图10-5中，连结DG、BE，且21,2,4kba，则22BEDG=．(1)已知：如图1，△ABC中，分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF，直线ANBC于N，若EPAN于P，FQAN于Q.判断线段EPFQ、的数量关系，并证明；(2)如图2，梯形ABCD中，AD∥BC,分别以两腰AB、CD为一边向梯形ABCD外作正方形ABGE和DCHF，线段AD的垂直平分线交线段AD于点M，交BC于点N，若EPMN于P，FQMN于Q．(1)中结论还成立吗请说明理由.图2FF图1HNQGHMPEPQGEDCBANCBA已知：如图，在RtACB△中，90C，4cmAC，3cmBC，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为(s)t（02t），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC∥（2）设AQP△的面积为y（2cm），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB△的周长和面积同时平分若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；