第十二章-Fourier级数和Fourier变换1

第十二章Fourier级数和Fourier变换第一节Fourier级数（1）教学目的与要求：1.明确认识三角级数的产生及有关概念；2.理解以为周期的函数的Fourier级数的有关概念、定义和收敛定理.教学重点、难点：重点:将一个函数展开成Fourier级数；难点:Fourier级数的收敛性的判别.教学方法：以教师课堂讲授为主，课堂讲授采用现代多媒体和传统方法结合，组织课堂讨论。要求学生课堂听课，参与课堂讨论，按时完成课程作业（含课内作业和课外作业）。课时安排：3学时使用教材和主要参考书：推荐教材：《数学分析》，复旦大学数学系编，高等教育出版社，2007年4月第3版。主要参考文献：《数学分析》，华东师大编，高等教育出版社，2010年07月第4版。《数学分析辅导书及习题精解》，华东师大编，浙江教育出版社，2018年8月第4版。《微积分学教程》，菲赫金哥尔茨著，高等教育出版社，2006年1月第8版。《数学分析习题集》，吉米多维奇著，山东科学技术出版社，2015年1月第1版。教学内容：一、傅立叶级数1．三角级数三角级数的定义形如01(cossin)2nnnaanxbnx的函数项级数称为三角级数，它是由三角函数列（也称为三角函数系）,sin,cos,,sin,cos,1nxnxxx所产生的函数项级数.注：是由三角函数列（或三角函数系）,sin,cos,,sin,cos,1nxnxxx所产生的函数项级数一般形式10)sincos(nnnnxBnxAA，之所以表示为为01(cossin)2nnnaanxbnx，是为了讨论该级数一致收敛时系数nnba,与其和函数之间关系表述方便.三角级数的应用背景在自然界中周期现象是很多的，如单摆运动、无线电波等，都可以用周期函数——正、余弦函数来表示，这是因为周期现象的数学描述就是周期函数.但是较复杂的周期现象如热传导、电流传播、机械振动等不仅需要正、余弦函数表示，而且需要很多以至于无穷多个正、余弦函数叠加来表示，这在数学上就是将周期函数展开成无穷多个正、余弦函数之和的问题.因此要研究由三角函数列所产生的级数即三角级数，特别必须研究由一个函数做出的三角级数即傅立叶级数.2．正交函数系定义设函数)(xf与)(xg定义于区间],[ba上.若有badxxgxf0)()(，且badxxf0)(2，badxxg0)(2，则称函数)(xf与)(xg定义于区间],[ba上是正交的.若定义于区间],[ba上的函数列)(xun满足bamndxxuxu0)()(（mn），且bandxxu0)(2，则称函数列)(xun在区间],[ba上具有正交性，或称函数列)(xun在区间],[ba上是正交函数系.例如，三角函数系,sin,cos,,sin,cos,1nxnxxx是区间],[上的正交函数系.事实上，0cos1nxdx，0sin1nxdx，0coscosmxdxnx（mn），0sinsinmxdxnx（mn），0sincosmxdxnx，而212dx，nxdx2cos，nxdx2sin.容易看出，三角函数系,sin,cos,,sin,cos,1nxnxxx中所有函数具有共同周期2，故容易验证若三角级数01(cossin)2nnnaanxbnx收敛，则它的和函数一定是一个以2为周期的函数.3．三角级数收敛定理及其性质定理15.1若级数10|)||(|2||nnnbaa收敛，则三角级数01(cossin)2nnnaanxbnx在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证明：利用优级数判别法.性质：定理15.2若在整个数轴上100)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf且等式右边级数一致收敛，则则有如下关系式：nxdxxfancos)(1，,2,1,0n，nxdxxfbnsin)(1，,2,1n.证明：利用一致收敛函数项级数的逐项可积性、第十三章第一节习题4、三角函数系的正交性即可.二、以2为周期的函数的傅立叶级数1．傅立叶级数的定义设()fx是(,)上以2为周期的函数，且()fx在[,]上可积，称形如01(cossin)2nnnaanxbnx的函数项级数为()fx的傅立叶级数(或()fx的傅立叶展开式)，其中01()afxdx，1()cos,1,2,nafxnxdxn，1()sin,1,2,nbfxnxdxn称为()fx的傅立叶系数，记为01()~(cossin)2nnnafxanxbnx.注：1）在未讨论收敛性，即证明01(cossin)2nnnaanxbnx一致收敛到()fx之前，不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示01(cossin)2nnnaanxbnx是()fx的傅立叶级数，或者说()fx的傅立叶级数是01(cossin)2nnnaanxbnx.2)求[,]上()fx的傅立叶级数，只需求出傅立叶系数.例1设()fx是以2为周期的函数，其在[,]上可表示为1,0()0,0xfxx,求()fx的傅立叶展开式.三、收敛定理1．按段光滑的定义设函数)(xf定义于区间],[ba上.若函数)(xf在],[ba上至多有有限个第一类间断点，其导函数在],[ba上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数的左、右极限存在，则称)(xf在区间],[ba上按段光滑.（注：导函数的间断点只能是第二类间断点.）注：区间],[ba上的按段光滑函数)(xf具有性质：（1）)(xf在区间],[ba上可积.（2）)(xf在区间],[ba上没一点都存在左右极限)0(xf，且有)0()0()(lim0xftxftxfx，)0()0()(lim0xftxftxfx.（3）补充定义f在区间],[ba上那些至多有限个不存在点上的值后（仍记为f），则f在区间],[ba上可积.2．收敛定理定理15.3以2为周期的函数)(xf在区间[,]上按段光滑，则在每一点x[,]，f的傅立叶系数01(cossin)2nnnaanxbnx收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值，即10)sincos(22)0()0(nnnnxbnxaaxfxf，其中na，nb为f的傅立叶系数.(证明放到以后进行)推论若函数)(xf是以2为周期的连续函数，且在区间[,]上按段光滑，则f的傅立叶级数在),(上收敛于f.注：3）计算()fx的傅立叶系数的积分也可以沿别的长度为2的区间来积.如2001()afxdx，201()cos,1,2,nafxnxdxn，201()sin,1,2,nbfxnxdxn例2设()fx是以2为周期的函数，其在[0,2)上等于x，求()fx的傅立叶级数.注：4)在具体讨论函数的傅立叶级数展开式时，通常只给出()fx在长为2的区间上的解析表达式，例如在[0,2)上的解析表达式，此时我们应对()fx作解析延拓，即定义~()(2)fxfxn，))1(2,2[nnx，,2,1,0n，使其以2为周期，它有下述性质：a)[0,2)x时，~()()fxfx；b)~()fx以2为周期.因此f的傅立叶级数就是指f的傅立叶级数.例3把函数],[,)(xxxf展开为Fourier级数.解参阅例1,有.,0,),(sin)1(211xxxfnnxnn例4展开函数],[|,|)(xxxf.解0nb；002xdxa.0cos2nxdxxan0sin2nxxn0sin2xdxn02cos2nxn为偶数。，为奇数，n0n,n4)1(cos222nn函数()fx在[,]上连续且按段光滑,又)()(ff，因此有],[,)12k(x)12k(cos42||1k2xx.(倘令x,就有421k2)12k(1,8)12k(121k2)例5在区间),(内把函数2)(xxf展开成Fourier级数.练习1（2）（i）解法一(直接展开)0nb；0220322dxxa.02cos2nxdxxan02sin2nxxn0sin4xdxxn24)1(nn.,2,1n函数2)(xxf在区间),(内连续且按段光滑,因此有2231x1k2cosnx)1(4nn,),(x.由于)()(ff,该展开式在],[上成立.(在该展开式中,取x，得1k21n261;取0x,得1k21n(-1)n2121.)解法二(间接展开:对例3中xxf)(的展开式作积分运算)由例3,在区间),(内有11sin)1(2nnnnxx.对该式两端积分,由Fourier级数可逐项积分,有10102sin1)1(22nxnxntdtntdtx12)1(cos1)1(2nnnxn121)1(2nnn12cos)1(2nnnnx.为求得121)1(nnn,上式两端在],[上积分,有dxx2323121)1(2nnndx12)1(2nnndxnxcos121)1(4nnn,12)1(2121nnn因此,2231x1k2cosnx)1(4nn,),(x.注：若题目中给定的函数只是在长度为2的区间上，解题时一定要先延拓，再按收敛定理判断傅立叶级数是否收敛，然后进行展开.做到一定程度以后，可以不用延拓，直接先判断函数是否按段光滑，即傅立叶级数是否收敛，然后进行展开.复习思考题、作业题：书后相关部分习题的大部分内容