第九章--拉普拉斯变换教案

课题（项目）Laplace变换的概念课时2课地点阶东1-2授课时间2012年4月9日，第9周，周一第1-2节教学目标方法手段教学目标：1、理解Laplace变换的定义，掌握常用函数的拉氏变换表，会利用拉氏变换定义求解简单函数的拉氏变换，能较为熟练地运用常用函数的拉氏变换表求解函数的拉氏变换。2、理解并掌握单位阶梯函数及其性质，掌握自动控制系统中常用的两个函数的拉氏变换教学方法：课堂讲授，讨论与练习相结合教学手段：讲授板书，多媒体重点难点教学重点：掌握部分分式法求Laplace逆变换。教学难点：()Fs分解成分式之和，用位移性质求Laplace逆变换，求Laplace逆变换。教学过程与内容拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．一、引入在代数中，直接计算328.957812028.6N53)164.1(是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为164.1lg53)20lg28.9lg5781(lg3128.6lglgN，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。二、新课讲授9.1.1拉氏变换的基本概念定义设函数)(tf当0t时有定义，若广义积分dtetfpt0)(在P的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作)(PF，即dtetfPFpt0)()(（9-1）称（7-1）式为函数)(tf的拉氏变换式，用记号)()]([PFtfL表示．函数)(PF称为)(tf的拉氏变换(Laplace)(或称为)(tf的象函数)．函数)(tf称为)(PF的拉氏逆变换（或称为)(PF象原函数），记作)()]([1tfPFL，即)]([)(1PFLtf。关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1)在定义中，只要求)(tf在0t时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t时，0)(tf。（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。例9-1求一次函数attf)(（at，0为常数）的拉氏变换。解0000][)(][dtepaepatetdpadtateatLptptptpt2020][0paepadtepaptpt)0(p。例9-2求指数函数atetf)(（a为常数）的拉氏变换．解dtedteeeLtapptatat0)(0][)(1apap，即)(1][apapeLat．)0(][sin22pptL；)0(][cos22ppptL。类似可得：)0(cos22ppptL9.1.2常用函数的拉氏变换表问题：计算函数teLtft4sin)(2的拉氏变换。知道，如果还是用拉氏的定义来计算，整个计算会比较复杂，而且有些还比较困难。为了运算的方便，我们给出常用函数的拉氏变换表。通过PPT展示常用函数的拉氏变换表。三、应用举例例9.4求（1）tetf43)(，（2）4)(ttf的拉氏变换。例9.5求tteeL32。例9.6求teLtft4sin)(2的拉氏变换。9.1.3自动控制系统中常用的两个函数1、单位阶梯函数（单位阶跃函数）1)单位阶梯函数的定义函数,0,10,0)(tttu称为单位阶梯函数（单位阶跃函数）。把)(tu分别平移ba和个单位，则有atatatu,1,0)(，btbtbtu,1,0)(，当ba时，将这两式相减得.,0,1)()(btatbtabtuatu或2）单位阶梯函数的性质单位阶梯函数具有：)0,0)(()(baabtubatu3）单位阶梯函数的拉氏变换：例9.7单位阶梯函数0,10,0)(tttu的拉氏变换。解pepdtedtetutuLptptpt1]1[1)()]([000，)0(p．2、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流)(ti，以)(tQ表示上述电路中的电量，则.0,1,0,0)(tttQ由于电流强度是电量对时间的变化率，即ttQttQdttdQtit)()(lim)()(0，所以，当0t时，0)(ti；当0t时，)1(lim)0()0(lim)0(00ttQtQitt。上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。1）定义设tttt，，，00100)(，当0时，)(t的极限)(lim)(0tt称为狄拉克（Dirac）函数，简称为函数．当0t时，)(t的值为0；当0t时，)(t的值为无穷大，即0,0,0)(ttt．)(t和)(t的图形如图9-1和图9-2所示（图略）。显然，对任何0，有11)(0dtdtt，所以1)(dtt．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于1的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．2）狄拉克函数拉氏变换．例9-2求)(t的拉氏变换．解根据拉氏变换的定义，有dtedtedtedtettLptptptpt0000001lim0lim)1lim()()]([11lim1)()1(lim11lim1][1lim00000pppptpepepeppe，即1)]([tL。三、课堂小结并布置作业作业P.1343、（1）（2）（5）教学小结理解拉氏变换的概念，熟记常用函数的拉氏变换表课题（项目）Laplace变换的性质课时2课地点阶东1-2授课时间2012年4月11日，第9周，周三，第5-6节教学目标方法手段教学目标：掌握Laplace变换的性质，重点掌握Laplace变换的线性性质，微分性质，位移性质。利用Laplace变换的性质求逆变换。教学方法：课堂讲授教学手段：板书，多媒体重点难点教学重点：重点掌握Laplace变换的线性性质，微分性质，位移性质。教学难点：微分性质，位移性质，求逆变换。教学过程与内容1.Laplace变换的线性性质，相似性质，微分性质，位移性质，积分性质。2.利用常用函数Laplace变换及性质求逆变换。3.利用微分性质推导[],[cos],[sin]mLtLktLkt4.例1：解微分方程：''2'()()0,(0)0,(0)ytytyy例2：求()sinfttt的Laplace变换例3：求22()cosfttt的Laplace变换例4：求sin()tftt的Laplace变换例5：求23(),cos2ttftteet的Laplace变换例6：求41()(2)Fss的Laplace逆变换作业P.1361.（1）（3），2.（1）（2）教学小结课题（项目）Laplace逆变换课时2课地点阶东1-2授课时间2012年4月16日，第10周，周一第1-2节教学目标方法手段教学目标：掌握Laplace逆变换的求法。教学方法：课堂讲授教学手段：板书，多媒体重点难点教学重点：掌握部分分式法求Laplace逆变换。教学难点：()Fs分解成分式之和，用位移性质求Laplace逆变换，求Laplace逆变换。教学过程与内容1.Laplace逆变换的定义。2.查表求Laplace逆变换。3.利用部分分式求Laplace逆变换。4.例1：求22(),16413ssFssssLaplace逆变换例2：求2()2sFsss的Laplace逆变换例3：求21()(1)Fsss的Laplace逆变换5.练习求211(),(1)(22)Fssssss的Laplace逆变换6.用卷积求Laplace逆变换作业P.138（3）（4）教学小结课题（项目）Laplace变换的应用课时2课地点阶东1-2授课时间2012年4月18日，第10周，周三第5～6节教学目标方法手段教学目标：掌握用Laplace变换解微分方程，了解线性系统中的传递函数。教学方法：课堂讲授教学手段：板书，多媒体重点难点教学重点：用Laplace变换解微分方程。教学难点：用Laplace变换解微分方程。教学过程与内容掌握利用微分性质把微分方程通过Laplace变换，转化为()Ys的线性方程。1.求出()Ys。2.1()[()]ytLYs。例1.求解微分方程：''''()2()2()2cos,(0)(0)0txtxtxtetxx例2：求解微分方程组：'()()(),(0)(0)1'()3()2()2txtxtytexytytxtyte3.线性系统的传递函数作业P.1411.（1）（2）教学小结课题（项目）10.1行列式的概念课时2授课地点东阶1——2授课时间2012年4月23日，第11周，第5～6节教学目标方法手段教学目标：1、了解二、三阶行列式的定义及其相关概念，掌握利用对角线法则计算简单行列式的方法。会用行列式法求解二、三元一次线性方程组。2、理解余子式、代数余子式的概念，能求行列式中任意元素的余子式和代数余子式。3、理解n阶行列式的定义、掌握几种特殊行列式，能利用行列式的定义计算行列式的数值。4、培养学生计算能力、抽象概括、类比的能力核学习方法。教学方法：课堂讲授、讨论与习题练习相结合。教学手段：多媒体、板书演示。重点难点重点：行列式的概念余子式和代数余子式的概念行列式的计算难点：行列式的概念利用行列式的定义计算行列式值教学过程与内容（一）引入（行列式的起源）1、二、三阶行列式的定义及计算法：考虑二元一次线性方程组11112212112222axaxbaxaxb(1)利用消元法，当112212210aaaa时，得到上述方程组的解为122122112121121122122111221221,baabababxxaaaaaaaa。(2)可以看出：方程组解的分子分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源。（二）新课讲授定义1我们称4个数组成的符号1112112221222122aaaaaaaa为二阶行列式。其中的数(,1,2)ijaij称为该行列式的第i行、第j列元素。(横排称为行列式的行,竖排列称为行列式的列)。为了便于记忆，我们用下述对角线法则来记二阶行列式：说明几个问题：1）它含有两行，两列。横的叫行，纵的叫列。行列式中的数叫做行列式的元素。2）从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号。练习：11-8-3-1-423）（根据定义，容易得知上述方程组解(2)中的两个分子