武汉理工大学大学物理课件第六讲

第六讲定轴转动中的功和能对定轴的角动量定理角动量守恒定律外力矩做功一.力矩的功定轴转动的功和能0MdA讨论：(1)恒力的功：MA(2)力矩的功率：dtdAPMdtdMcosFvP力的功率：二.刚体的（转动）动能221JEk三.定轴转动的动能定理设：刚体的转动惯量不变，且t0时刻的角速度为ω0，t时刻的角速度为ω，刚体角速度从ω0增加到ω的整个过程，合外力矩对刚体所作的功:2022121JJA物理含义：合外力矩对刚体所作的功，在数值上等于刚体转动动能的增量。21222121mmrdFA对比:质点动能定理：四.刚体的重力势能cpmghE)(是质心距地面的高度ch四.机械能守恒定律在刚体系统中的应用一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内力作功,则这个系统的机械能也同样守恒。221JmghEc例1一质量为m、长为l的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止在竖直位置，求棒转到与水平面成角时的角速度和角加速度。Chco2lmg231mlJ由上得)sin1(3lg解棒在转动的过程中，只有保守力(重力)作功，故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有零势面2212Jlmgsindtd讨论：本题也可先由M=J求出，再用=d/dt积分求出。但用机械能守恒显然简单一些。角加速度：)sin1(3lg3cos2gldtdddddChcoJL物理含义：在定轴转动中，刚体对转轴的角动量的大小等于刚体对该轴的转动惯量与刚体角速度的乘积。定轴转动的角动量定理1.用角动量表述的转动定理JM由dtdJdtJd)(dtdLdtdLM刚体对定轴的角动量大小刚体对固定轴z的角动量角动量定理dtdLM理解：(1)物理含义：在定轴转动中，物体所受对某定轴的外力矩，等于物体对该轴的角动量的时间变化率。(2)dtdLdtJdM)(JM（只适用于刚体）（适用于刚体和非刚体）2.角动量定理的微分形式得两边同乘以将,)(dtdtdLdtJdMdtdpFJdtddtdJdLJdMdt)(理解：(1)与质点力学中的动量定理类似，反映了外力矩的时间累积效应。dpmvdFdt)((2)与定义Fdt为元冲量类似，定义Mdt为元角冲量（或元冲量矩）。3.角动量定理的积分形式00000JJJdMdtttJJ)(ttttMdt00冲量时间内作用于物体的角称为在其中物理含义：在定轴转动中，物体（不限于刚体）所受的角冲量，等于物体在同一时间内角动量的增量。0M物体所受的合外力矩若000JJLL或则(1)物理含义：在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零（注：不一定是外力为零）时，物体对该轴的角动量保持守恒。理解：(2)角动量守恒的充要条件：合力矩为零（适用于质点、离散质点系、刚体）(3)定轴转动的角动量守恒定律同样适用于由若干个物体组成的系统。系统的角动量守恒定律描述如下：定轴转动的角动量守恒定律(5)质点：动量守恒、角动量守恒、机械能守恒角动量守恒、机械能守恒，只要整个系统受到的外力矩对该轴的矢量和为零，则系统的总角动量保持守恒。若有几个物体组成一个系统，各物体对同一轴的角动量分别为...,2211JJiiiJ恒量(4)对比：系统角动量守恒条件：系统动量守恒条件：0外M0外F动量守恒、刚体：vovo'ompTR圆锥摆子弹击入杆ov以子弹和杆为系统机械能不守恒.角动量守恒；动量不守恒；以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒.圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒.讨论子弹击入沙袋细绳质量不计四.角动量守恒定律的应用（1）选取系统；（2）分析外力矩，明确守恒条件；（3）确定初态和末态角动量，正确写出角动量守恒的表达式。附：质点与刚体发生碰撞时，若碰撞的相互作用力矩远大于合外力矩，也可认为该系统的角动量守恒。解(1)杆+子弹：竖直位置，外力(轴o处的力和重力)均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：])32(31[3222lmMllmo解得)43(6mMlmo例1长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端的水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂，如图所示。有一质量为m的子弹以水平速度o射入杆上的A点，并嵌在杆中，oA=2l/3,求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度;(2)杆能转过的最大角度。2l/3mvooA2l/3mvooA222])32(31[21lmMl)322]()32(31[2)32(1cos222lmglMglmMllmo由此得：(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：)cos1(32)cos1(2lmglMg)43(6mMlmo由前角动量守恒定律应用举例角动量定恒2.AVI直升飞机为什么要安装反向双旋翼？演示仪为什么在拉线的作用下会转动起来？体操运动员的“晚旋”茹科夫斯基凳实验芭蕾花样滑冰跳水请看:猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚朝天，脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你注意，猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了冲击。那么，甩尾巴而获得四脚转向的过程，就是角动量守恒过程。为什么猫从高处落下时总能四脚着地？沿直线平动绕定轴转动冲量动量动量定理动量守恒定律角冲量角动量（动量矩）角动量定理FdtmvJ时，0FMdt00mvmvFdttt000JJMdttt恒量mv角动量守恒定律时，0M恒量J力的功力矩的功FdxAMdA动能转动动能221mvEk221JEk动能定理转动动能定理20221210mvmvFdxxx20221210JJMd练习8、刚体转动定律1、解：质点B：设绳的张力为T2，质点A：设绳的张力为T1，则由牛顿定律：amT22amTgm111m1T1m1ga则水平方向上m2Nm2gT2加速度为a，滑轮：设物体A、B对系统的反作用力分别为，2T1T1T2T22TT11TT由转动定律（设角加速度垂直纸面向下为正）βIRTT21)(由于绳和滑轮无滑动，则βRa联立上述方程，得：2211R/Immgma由圆盘代入上式得：23Rm21I3211mmm2gm2a)(gmmm2mm2magmT32132111)()()(gmmm2gmm2amT3212122)(mmAB2rr2、解：分析受力如图：mgmgT1T2a2a11T2T设A的加速度为a1方向向下；B的加速度为a2方向向上；滑块的加速度为β方向垂直纸面向外。质点A：11maTmg质点B：22mamgT两个圆盘粘在一起，视作一个刚体，其转动惯量为221mr29III由转动定律列方程：βIrTr2T21由牛顿第三定律：22TT11TT由角量与线量的关系：βr2a1βra2解以上方程组得：r19g2mr5Imgr2β练习9、转动的功与能刚体的角动量弹簧原长m5.00.15.1l01、解：棒转到水平位置时弹簧伸长量m3.15.05.11lΔ22棒下摆过程中，系统机械能守恒2lmglΔk21I2122)(ω2ml31I且：解得：s/rad34.3mgllkml322])([Δω2、解：dmdxx薄板对轴的转动惯量为：oo2l022Ml31dxlMxdmxI式中dm是宽度为dx的一条细棒的质量。小球碰撞后速度方向不变，大小变为v。则碰撞中角动量守恒：mvlIlmv0ω碰撞前后系统动能相等：222mv21I21mv210ω解以上方程组得：xoolm3Mmv60)(ω0vMm3Mm3v