模型--隐形圆问题梳理(附PPT)

“隐形圆”问题有些时候，圆的信息在条件中没有直接给出，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．如何发现圆（或圆的方程）是关键，常见的策略有以下几种：（1）利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆；（2）动点P对两定点A，B张角为90（1PAPBkk）确定隐形圆；（3）A，B是两个定点，动点P满足PAPB（0且1）确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）；（4）A，B是两个定点，动点P满足22PAPB是定值确定隐圆；（5）A，B是两个定点，动点P满足PAPB确定隐圆．题组一、利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐圆例1：圆22(2)(3)4xaya上总存在两个点到原点的距离为1，则a的取值范围是______________．解：原题可转化为圆22(2)(3)4xaya和圆221xy相交．所以22156921aa，解得605a．2222030569aaaa，因为两圆的圆心距为变式1：圆O：221xy，直线l：3axy，若直线上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点是A，B，使得60APB，则实数a的取值范围是________．PBAO解：由60APB可得30APO，由1OA可得2OP，所以点P在以O为圆心，OP为半径的圆上，其方程为224xy．PBAO又点P在直线l：3axy上，故直线l与圆224xy有公共点，所以2321da，解得254a，所以52a或52a．变式2：在变式1中，其他条件不变，只把条件“使得60APB”改变为：①使得四边形OAPB为正方形；②使得3AB；③使得23PAPB；求实数a的取值范围．解：①由四边形OAPB为正方形可得2OP，所以2321da，解得272a，所以142a或142a．①四边形OAPB为正方形PBAO②3ABDPBAO解：②OAAP，ABOP，由等积法可得12OAPBSOAAPABOP，所以2OP．往下同变式1，解得52a或52a．因为21,3,1OAABAPOP，所以21132OPOP，解得24OP，③23PAPBPBAO解：③设APO，则2cos2PAPBPA22112sinPO221112POPO2223POPO23所以2331da，解得22a，所以2a或2a．解得23PO或223PO（1，舍去），所以3PO，题组二、动点P对两定点A，B张角为90（1PAPBkk）确定隐圆例2：已知圆C：22341xy，点(,0)Am，点(,0)Bm，0m，若圆C上存在点P，使得90APB，则m的范围是___________．解：由90APB可得点P在以AB为直径的圆上，其方程为222xym，且与圆22341xy有公共点．因为两圆的圆心距为5，所以151mm，解得46m．例2：已知圆C：22341xy，点(,0)Am，点(,0)Bm，0m，若圆C上存在点P，使得90APB，则m的范围是___________．变式1：直线1l：20kxy与直线2l：20xky交于P点，当k变化时，点P到直线40xy的距离的最大值是_________．解：直线1l过定点0,2A，直线2l过定点2,0B，且直线1l与直线2l垂直，所以点P在以AB为直径的圆上，圆心1,1C，半径2r，其方程为22112xy因为圆心C到直线40xy的距离为4222d，所以点P到直线40xy的距离的最大值为22232．变式2：在直角坐标系中，已知点(1,0)P，点(2,1)Q，直线l：0axbyc，其中a，b，c成等差数列，点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是____________．解：由a，b，c成等差数列可得2bac，代入直线l：0axbyc得02acaxyc，整理得220axycy，由2020xyy可得直线l过定点1,2A．又点(1,0)P在直线l上的射影为H，所以点H在以AP为直径的圆上，圆心为0,1C，半径2r．因为22201122CQ，所以点Q在圆C外，所以CQrQHCQr，所以232QH．题组三、A，B是两个定点，动点P满足PAPB（0且1）确定隐圆（阿波罗尼斯圆）例3：已知(1,0)A，(4,0)B，若直线0xym上存在点P，使得12PAPB，则m的取值范围是________________．解：设,Pxy，由12PAPB可得22221142xyxy，化简得224xy，即点P在以原点为圆心，2为半径的圆上．又直线0xym上存在点P，故直线与圆有公共点．因为圆心O到直线的距离为2md，所以22m，所以2222m．变式1：在平面直角坐标系中，已知点0,2A，1,1B，P为圆222xy上一动点，则PBPA的最大值是________．解：设,Pxy，则222xy，22222222211222442xyPBxyxyPAxyyxy令223xyty，即21320xtyt，2222224423xyxyyy，则动直线21320xtyt与圆222xy有公共点，所以2322121tt，解得04t，所以204PBPA，即02PBPA，故PBPA的最大值是2．变式2：满足条件2AB，2ACBC的ABC的面积的最大值是．解法一：2AB，2ACBC即2c，2ba，由余弦定理得22224cos242bcaaAbca，所以224sin142aAa，所以2214sin21242ABCaSbcAaa42124164aa221121284a1128224．所以ABC的面积的最大值是22．解法二：由2AB为定值，以AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立直角坐标系，则1,0A，1,0B，设,Cxy，由2ACBC变式2：满足条件2AB，2ACBC的ABC的面积的最大值是．可得2222121xyxy，化简得2238xy，即点C在以3,0为圆心，22为半径的圆上，又12ABCCSABy22Cy．所以ABC的面积的最大值是22．题组四、A，B是两个定点，动点P满足22PAPB是定值确定隐圆例4：圆C：2221xaya，点0,2A，在圆C上存在点M，满足2210MAMO，则a的取值范围是___________．解：设,Mxy，因为2210MAMO，所以2222210xyxy，所以2214xy．因为圆C上存在点M，满足2210MAMO，所以两圆有公共点，所以2221321aa，所以03a．变式1：已知两定点3,0A，1,0B，若直线l：20xay上的一点P满足2216PAPB，则实数a的取值范围是___________．解：设,Pxy，因为2216PAPB，所以22223116xyxy，化简得2214xy，所以2321a，解得254a，所以52a或52a．变式2：已知点1,0A，点1,0B，点C满足228ACBC，过点C作圆D：22(3)(3)1xy的两条切线，切点分别为P，Q，则CPCQ的最小值是．解：,Cxy，因为228ACBC，所以2222118xyxy，化简得223xy，所以点C在以原点O为圆心，3为半径的圆上．QPDCO则2cos2CPCQCP22112sinCD221112CDCD2223CDCD．因为23OD，所以3,33CD，设PCD，所以23,27CD．因为2223CDCD在3,27上单调递增，所以在23CD时取最小值，最小值为223333．例5：已知点2,3A，6,3B，点P在直线3430xy上，若满足等式20APBP的点P有两个，则实数的取值范围是________．题组五、A，B是两个定点，动点P满足PAPB确定隐圆．例5：已知点2,3A，6,3B，点P在直线3430xy上，若满足等式20APBP的点P有两个，则实数的取值范围是________．解：设,Pxy，则2,3APxy，6,3BPxy，代入20APBP得263320xxyy，化简得224132xy，所以1320，132．由题意，圆与直线3430xy相交，圆心到直线的距离120335d，所以3132，解得2．变式1：已知线段2AB，动点C满足CACB（0），若点C总不在以点B为圆心，12为半径的圆内，则负数的最大值是________．解：设1,0A，1,0B，,Cxy，则由CACB得211xxy，化简得221xy．yxOBA因为点C总不在以点B为圆心，12为半径的圆内，所以圆O：221xy与圆B：22114xy相离、外切、内切或圆B在圆O内，yxOBA所以1112100或1112100，解得314，即负数的最大值为34．变式2：在平面直角坐标系中，12,0A，0,6B，点P在圆O：2250xy上．若20PAPB，则点P的横坐标的取值范围是____________．解：设,Pxy，因为20PAPB，所以12620xxyy，化简得226365xy．又2250xy，所以126300xy，即250xyyxCDOE故点P的轨迹为劣弧CE（如图所示）．由图可知，点P的横坐标的取值范围为,DCxx．联立2250250xyxy,消去y，得2450xx，解得5x或1x，即1Cx．又因为52Dx，所以点P的横坐标的取值范围是52,1．yxCDOE课堂小结：（1）利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆；（2）动点P对两定点A，B张角为90（1PAPBkk）确定隐形圆；（3）A，B是两个定点，动点P满足PAPB（0且1）确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）；（4）A，B是两个定点，动点P满足22PAPB是定值确定隐形圆；（5）A，B是两个定点，动点P满足PAPB确定隐形圆．体会“轨迹思想”、“等价转化”、“数形结合”等数学思想方法在“隐形圆”问题中的应用，能用代数方法处理几何问题．