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本课时栏目开关填一填研一研练一练3.2.1直线的点斜式方程[学习要求]1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．[学法指导]通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探究出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.本课时栏目开关填一填研一研练一练填一填·知识要点、记下疑难点1．求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点P(x，y)的坐标之间的关系．2．直线l经过点P1(x1，y1)，当直线斜率不存在时，直线方程为；当斜率为k时，直线方程为，该方程叫做直线的点斜式方程．3．方程叫做直线的斜截式方程，其中叫做直线在轴上的截距．4．对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔；l1⊥l2⇔.x和yy－y1＝k(x－x1)y＝kx＋bx＝x1byk1＝k2且b1≠b2k1k2＝－1本课时栏目开关填一填研一研练一练[问题情境]给出一定点P0和斜率k，直线就可以唯一确定了．如果设点P(x，y)是直线上的任意一点，那么，如何建立P和P0点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．研一研·问题探究、课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练探究点一直线的点斜式方程问题1求直线的方程指的是求什么？答就是求直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．问题2如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，怎样建立x，y之间的关系？答由斜率公式得k＝y－y0x－x0，即y－y0＝k(x－x0)．问题3过点P0(x0，y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足问题2中得出的方程吗？为什么？答其坐标都满足方程y－y0＝k(x－x0)；由问题2中的推导过程可知．研一研·问题探究、课堂更高效本课时栏目开关填一填研一研练一练问题4坐标满足方程y－y0＝k(x－x0)的点都在过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线上吗？为什么？研一研·问题探究、课堂更高效答都在．这是因为若点P1(x1，y1)的坐标x1，y1满足方程y－y0＝k(x－x0)，即y1－y0＝k(x1－x0)，若x1＝x0，则y1－y0＝0，即y1＝y0，说明点P1与P0重合，于是可得点P1在直线l上；若x1≠x0，则k＝y1－y0x1－x0，这说明过点P1和P0的直线的斜率为k，于是可得点P1在过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线上．小结由上述问题2和问题3的讨论可知，方程y－y0＝k(x－x0)就是过点P0(x0，y0)且斜率为k的直线的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．本课时栏目开关填一填研一研练一练问题5如何求x轴所在的直线方程？如何求出经过点P0(x0，y0)且平行于x轴的直线方程？研一研·问题探究、课堂更高效答由于x轴过坐标原点(0,0)，且倾斜角为0°，即k＝tan0°＝0，将点(0,0)及k＝0代入直线的点斜式得y＝0；因所求直线l平行于x轴，所以k＝tan0°＝0，将(x0，y0)及k＝0代入直线的点斜式得y－y0＝0，即y＝y0.问题6y轴所在的直线方程是什么？如何求过点P0(x0，y0)且平行于y轴的直线方程？答y轴所在的直线方程为x＝0；由于直线l平行于y轴，所以直线l斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是x－x0＝0，即x＝x0.本课时栏目开关填一填研一研练一练例1直线l经过点P0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.研一研·问题探究、课堂更高效解直线l经过点P0(－2,3)，斜率是k＝tan45°＝1，代入点斜式方程得y－3＝x＋2.画图时，只需再找出直线l上另一点P1(x1，y1)，例如，取x1＝－1，y1＝4，得P1的坐标为(－1,4)，过P0，P1的直线即为所求，如图：本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效小结由点斜式写直线方程时，由于过P(x0，y0)的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜率存在时方程为y－y0＝k(x－x0)；(2)斜率不存在时，直线方程为x＝x0.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1一条直线经过点P(－2,3)，斜率为2，求这条直线的方程．解∵直线经过点P(－2,3)，且斜率为2，代入点斜式，得：y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效探究点二直线的斜截式方程问题1已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？答将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.小结我们称b为直线l在y轴上的截距．方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以这个方程也叫做直线的斜截式方程．本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效问题2直线y＝kx＋b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？答不是直线与y轴交点到原点的距离，是直线y＝kx＋b在y轴上交点的纵坐标，截距b的取值范围是R.问题3一次函数的解析式y＝kx＋b与直线的斜截式方程y＝kx＋b有什么不同？答一次函数的x的系数k≠0，否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程y＝kx＋b中的k，可以为0.本课时栏目开关填一填研一研练一练例2已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，试讨论：(1)l1∥l2的条件是什么？(2)l1⊥l2的条件是什么？研一研·问题探究、课堂更高效解(1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时l1，l2与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，k1＝k2且b1≠b2时，l1∥l2.(2)若l1⊥l2，则k1k2＝－1；反之，k1k2＝－1时，l1⊥l2.小结已知l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1.本课时栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．解设直线方程为y＝16x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得12·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.故所求直线方程为y＝16x＋1或y＝16x－1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.本课时栏目开关填一填研一研练一练1．方程y＝k(x－2)表示()A．通过点(－2,0)的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线解析易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．练一练·当堂检测、目标达成落实处C本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处2．已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的方程为________．解析由x－4y＋3＝0，得y＝14x＋34，其斜率为14，故所求直线l的斜率为12，又直线l过点P(2,1)，所以直线l的方程为y－1＝12(x－2)，即x－2y＝0.x－2y＝0本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处3．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行．解(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1.本课时栏目开关填一填研一研练一练练一练·当堂检测、目标达成落实处1．已知直线l经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出直线的方程．用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在．而过点P(x0，y0)，斜率不存在的直线方程为x＝x0.直线的斜截式方程y＝kx＋b是点斜式的特例．2．求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的．但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形．本课时栏目开关填一填研一研练一练