差分方程

数学建模与数学实验差分方程实验目的实验内容2、掌握用数学软件求解差分方程问题。1、直观了解差分方程基本内容。1、差分方程的基本理论。3、实验作业。2、用数学软件求解差分方程问题。差分方程的基本理论1差分方程模型对一数列{na}，把数列中的na和前面的ia（ni0）关联起来的方程叫做差分方程，差分方程也叫递推关系.例12,12121aanaaannn其中，2,121aa叫初始值.例2设第一月初有雌雄各一的一对小兔.假定两月后长成成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖.设第n月末共有nF对兔子，试建立关于nF的差分方程.解：在第一个月时，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成熟了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对兔子。再过一个月，成熟的兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大，有三对小兔子。如此推算下去，我们便发现一个规律：因第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的成熟兔子，另一部分为当月新生的，所以12121FFFFFnnnnF定义为Fibonacci数列.时间(月)初生兔子(对)成熟兔子(对)兔子总数(对)110120113112412352356358758138813219132134102134552差分方程的解法1)常系数线性齐次差分方程的解法形如:02211knknnnabababa(1)的差分方程,称为na的k阶常系数线性差分方程.其中ib为常数,0kb,kn.方程011kkkbxbx(2)称为差分方程（1）的特征方程,其根称为特征根.例3二阶常系数线性差分方程21nnnFFF,变形为021nnnFFF,它的特征方程为012xx定理1(单根)差分方程02211knknnnabababa,0kb的特征方程011kkkbxbx有k个相异的特征根kxxx,,,21,则nkknnnxcxcxca2211是一个通解,其中kccc,,,21为任意常数.且由一组初始条件11,11,00,kkuauaua可确定一个满足初始条件的特解.例4求Fibonacci数的通项12121FFFFFnnn解差分方程的特征方程:012xx特征根为：25125121xx与，互异所以，通解nnnccF)251()251(21由初始条件1,121FF，得1)251()251(21cc1)251()251(2221cc联立解出51,5121cc故])251()251[(51nnnF定理2(重根)差分方程02211knknnnabababa,0kb的特征方程011kkkbxbx的相异特征根txxx,,,21,重数依次为tmmm,,21,kmmmt21,则差分方程的通解为ntjmjtjnjmjjnjmjjnxncxncxncat112112111121例5求解5,4,2534321naaaaannnnn.解特征方程0253234xxxx.特征根为-1,-1,-1,2.因而通解为nnncncncca2)1)((42321定理3差分方程02211knknnnabababa,0kb的特征方程011kkkbxbx的特征根出现一对共轭复根ixix21,和相异的k-2个根kxxx,,43,则差分方程的通解为nkknnnnxcxcncnca3321sincos其中arctg,22例6计算n阶行列式11000000001110000000000000111000000001110000000011na解将na按第一列展开得)3(21naaannn其中0,121aa，由特征方程012xx解得ix23211，ix23212321231arctg，3sin3cos21ncncan将0,121aa代入解出31,121cc故3sin313cosnnan2)常系数线性非齐次差分方程的解法定义形如)(2211nfabababaknknnn（),0)(,0,1knnfbbbkk为常数，的差分方程为k阶常系数线性非齐次差分方程.常系数线性非齐次差分方程)(2211nfabababaknknnn对应的齐次差分方程02211knknnnabababa定理4非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解nnnaaa*其中*na是对应齐次差分方程的通解，na是非齐次差分方程的特解.如何求非齐次差分方程的特解na，参照常微分非齐次方程的解法.例7求非齐次差分方程nnnnaaa24421的通解.解对应的齐次方程的特征方程0442xx解得二重根221xx，所以对应的齐次方程的通解为nnnncca2221*由所给非齐次差分方程的右端，可以设其特解为nnnAa22将na代入原方程解得21A，故非齐次差分方程的通解为nnnnnncca222221应用举例例8如图正方形ABCD的四个顶点各有一人。在某一时刻，四人同时出发以匀速v=1米/秒按顺时针方向追逐下一人，如果他们始终保持对准目标，则最终按螺旋状曲线于中心点O.试求出这种情况下每个人的行进轨迹。OCDAB图12.取时间间隔为Δt,计算每一点在各个时刻的坐标。设某点在t时刻的坐标为:(xi,yi)则在t+Δt时刻的坐标为:(xi+vΔtcosα,yi+vΔtsinα)其中dxxii1cos,dyyii1sin,2121)()(iiiiyyxxd求解过程:1.建立平面直角坐标系:A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。3.取足够小的,d时结束算法。4.对每一个点，连接它在各时刻的位置,即得所求运动轨迹。MATLAB程序如下：v=1;dt=0.05;x=[001010];y=[010100];fori=1:4plot(x(i),y(i),'.');holdonendd=20;while(d0.1)x(5)=x(1);y(5)=y(1);fori=1:4d=sqrt((x(i+1)-x(i))^2+(y(i+1)-y(i))^2);x(i)=x(i)+v*dt*(x(i+1)-x(i))/d;y(i)=y(i)+v*dt*(y(i+1)-y(i))/d;plot(x(i),y(i),'.');holdonendend所得到得轨迹模拟图如图1ToMatlab（cx1.m）例8最优捕鱼策略生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益.考虑具有4个年龄组：1龄鱼，...4龄鱼的某种鱼.该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖.而按规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例称为捕捞强度系数.使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为0.42：1.渔业上称这种方法式为固定努力量捕捞.该鱼本身有如下数据：1、各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年）其平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99(单位:克);2、1龄鱼和2龄鱼不产卵,产卵期间,平均每条4龄鱼产卵量为510109.1(个),3龄鱼为其一半;3、卵孵化的成活率为111022.1/)1022.1(11n(n为产卵总量);有如下问题需要解决:1)分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变)，并在此前提下得到最高收获量；2)合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏,承包时各年龄组鱼群数量为122，29.7，10.1，3.29(×109条),在固定努力量的捕捞方式下,问该公司应采取作怎样的捕捞策略,才能使总收获量最高.这里只讨论问题2),即可持续捕获策略模型.设年初鱼群为TtXtXtXtXtX))()()()(()(4321，下一年的鱼群数为TtXtXtXtXtX))1()1()1()1(()1(4321显然，)1(tXi是)(1tXi到年底存活下来的鱼群数以一年为一个离散化的单位时间.)1(4tX中还包括)(4tX中存活数.)(0tX指上一年由卵孵化而得到1龄鱼建立如下差分方程：)]()()()(2[)1(44331tXkcmtXkcmtX)()1(12tcXtX)()1(23tcXtX)())(()()1(44334tXkctXkctX因为3龄鱼与4龄鱼捕捞强度系数比为0.42：1故有kkk42.042.043写成矩阵形式：)()1(tPXtX其中,Pkckcmkckcmcc00)(42.000)42.0(2000000仔细考察矩阵P，当4龄鱼捕捞强度系数476.042.02.042.0ck时，不论上一年鱼群数目如何，下一年的鱼群将出现负数.这个结论显然是荒缪的.事实上，只要3龄鱼和4龄鱼不被同时捕光，下一年4龄鱼存在存活，即鱼群数不会出现负数.造成这种现象的原因是单位时间离散化程度不够精细假设单位时间为一个月，定义月死亡率为，月存活率)1(.月捕捞系数为k.则年存活率12)1(应为2.0c，从而得1255.0.考虑一年中各月鱼群数目的分布，不难得到如下分析：一个月实际存活率：)1(k二个月实际存活率：2)1(k八个月实际存活率：8)1(k............九个月实际存活率：)()k(118因只前八月捕捞，后四月只有自然死亡.一年后实际存活率:48)1()1(k同理可得第i月捕捞率:8,2,1,)1(1ikki因此可得一年后3龄鱼实际存活数:8433(1)(1)()kXt一年后4龄鱼实际存活数:8444(1)(1)()kXt该年3龄鱼总捕捞数88133333313[1(1)](1)()()iikkkkXtXtk该年4龄鱼总捕捞数88144444414[1(1)](1)()()iikkkkXtXtk该年3龄鱼产卵总量:8333(1)()2mnkXt该年4龄鱼产卵总量:8444(1)()nmkXt因此:8834121248484300(1)(1)2(1)0000(1)0000(1)(1)(1)(1)mkmkPkk关于鱼群的差分方程为：)t(PX)t(X18833443434[1(1)][1(1)]()()kkkkfXtXtkk（1）（2）为实现持续捕获（1）式必须存在稳定解：)()(tPXtX由差分方程稳定性理论知其充要性为：对P的所有特征根i，有1i用Matlab编程运算，按上述步骤搜索最佳月捕捞强度系数k，得最大捕鱼量如下：10:3.322910MAXf克=33229.吨4龄鱼捕捞强度系数40.7807kk；3龄鱼捕捞强度系数30.420.3279kk；可持续最佳捕获下渔场中各年龄组鱼群数：*9997()(115.2221023.0444104.60888102.2114910)XtToM