1-3-常见特殊矩阵

1.3常见特殊矩阵1.上三角矩阵2.初等变换矩阵3.对称矩阵4.正交矩阵5.内积空间我们尽量采用如下记号：用大写英文字母表示矩阵，如A,B,…用小写英文字母加上下标表示矩阵的元素，如a11,b2n,…用小写英文字母表示向量，如x,y,z,…用小写希腊字母表示标量，如a,b,l,m,…1.上三角矩阵In表示n阶单位矩阵(identitymatrixofordern)；ei表示In的第i列；对角矩阵(diagonalmatrix)：A=diag(a11,a22,…,ann)上三角矩阵(uppertriangularmatrix)下三角矩阵(lowertriangularmatrix)上(下)三角矩阵的特征值就是对角元；上(下)三角矩阵的逆矩阵仍然是上(下)三角矩阵；分块(block)对角矩阵：A=diag(A11,A22,…,Akk)；分块(block)上(下)三角矩阵；分块上(下)三角矩阵的特征值是各对角块矩阵特征值的并集，其逆矩阵仍然是分块上(下)三角矩阵。2.初等变换矩阵第一类：A1=diag(1,…,1,a,1,…,1)；第二类：A2=I+beiejT；第三类：A3=[e1,…,ei-1,ej,ei+1,…,ej-1,ei,ej+1,…,en]；左行右列A1-1=diag(1,…,1,1/a,1,…,1)；A2-1=I-beiejT；A3-1=A3。分块形式初等变换矩阵。例1设A∈Cm×n，B∈Cn×m，证明：AB和BA的非零特征值完全相同，而且重数也相同。此外还有det(Im+AB)=det(In+BA)。3.对称矩阵(a)实对称矩阵和复Hermite矩阵设A∈Rn×n，如果满足A=AT，则称A为对称矩阵(symmetricmatrix)。记做A∈SRn×n。对称矩阵的特征值都是实数。设A∈Rn×n，如果满足A=-AT，则称A为反对称矩阵(skew-symmetricmatrix)。反对称矩阵的特征值只能是纯虚数或0。设A∈Cn×n，如果满足A=A*，则称A为Hermite矩阵(Hermitianmatrix)；如果满足A=-A*，则称A为反Hermite矩阵(skew-Hermitianmatrix)。(b)正定矩阵设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn都有xTAx0，则称A为对称正定(symmetricpositivedefinite)矩阵。对称正定矩阵的特征值都是正数。下列条件都等价：1.A是正定矩阵；2.A的所有顺序主子式都大于0；3.存在非奇异矩阵C，使得A=CCT；把正定矩阵定义中的xTAx0改成xTAx0，则称A是负定(negativedefinite)矩阵。记做A0。负定矩阵的特征值都是负数。记做A0。4.A对称，且所有特征值都是正数。设A∈SRn×n，如果对任意x∈Rn有xTAx≥(≤)0，则称A为半正(负)定(semipositive/negativedefinite)矩阵，记做A≥(≤)0。对称半正定矩阵的特征值都大于等于0。下列条件都等价：1.A是半正定矩阵；2.A的所有顺序主子式都大于等于0；3.存在矩阵C，使得A=CCT；设A是复Hermite矩阵，如果对任意x∈Cn都有x*Ax(,≥,≤)0，则称A为正定(负定，半正定，半负定)矩阵。4.A对称，且所有特征值都非负。4.正交矩阵设Q∈Rn×n，如果QTQ=QQT=I，则称Q为正交(orthogonal)矩阵。正交矩阵一定可逆，且Q-1=QT。设Q1,Q2是正交矩阵，则Q1-1,Q1Q2,diag(Q1,Q2)也都是正交矩阵。1.Givens变换：22,1,csAcssccossin.sincosA可以通过一系列的Givens变换把任意非零向量变成e1的倍数。2.Householder变换：任给单位向量u，定义H=I-2uuT，则H被称为Householder矩阵。对任意非零向量x，y，总可以找到一个Householder矩阵H，使得Hx=ay。H满足：HT=H，H2=I，det(H)=-1。特别的可以取y=e1。设U∈Cn×n，如果满足U*U=UU*=I，则称U为酉(unitary)矩阵。酉矩阵与正交矩阵有着类似的性质。5.内积空间(欧式空间)设V是实数域R上的线性空间。如果对于V中任意两个向量x,y，可以定义一个二元运算x,y，并且满足：1.交换性x,y=y,x；2.分配律x,y+z=x,y+x,z；3.齐次性kx,y=kx,y，k∈R；4.非负性x,x≥0，且等号只有当x=0时才成立。则称这个二元运算是内积，V称为Euclid空间，或欧式空间，或内积空间。上述定义可以推广到复数域C上。1.V=Rn，x,y=xTy；2.V=Cn，x,y=x*y；3.V=Cn，x,y=xTy；不是内积4.V=Rn×n，A,B=tr(ABT)；5.V=C[a,b]，；(),()()()bafxgxfxgxdx6.V=Rn，A0，x,y=xTAy；在欧式空间中，称非负实数为x的长度(模、范数)，记为||x||。,xx1.||kx||=|k|||x||；2.||x+y||=||x||+||y||；3.||x,y||≤||x||||y||。