武汉理工大学振动和波动总结

1、简谐振动、描述简谐振动的特征量；2、旋转矢量法、简谐振动的实例、简谐振动的能量；3、两个同方向同频率的简谐振动的合成；4、机械波的形成、描述波动的物理量；平面简谐波的波动方程的建立及物理意义；5、波的能量和能量密度、波的能流和能流密度；6、惠更斯原理、波的衍射；波的叠加原理、波的干涉；7、驻波。振动和波动基本内容1、简谐振动系统动力学特征系统受线性回复力（矩）作用，如动力学方程为二阶线性常微分方程FkxMC2220dxxdt只要一个系统的动力学条件满足这两个特征之一，我们就可以认定它为简谐振动系统。这种系统有时简称谐振子内容提要几种典型简谐振动的比较系统振动机制振动物理量运动微分方程角频率弹簧振子弹性力x位移220dxkxdtm220dgdtl220dmghdtJ220dkdtJ2210qdqdtLC/km/gl/mghJ/kJ1/LC单摆复摆扭摆LC电路重力重力矩扭力矩自感电动势摆角摆角转角q极板上电荷sin()cos()2dxvAtAtdt22cos()cos()dvaAtAtdt2、简谐振动的运动学特征•振子的位移、速度、加速度都按余弦（或正弦）规律作周期性变化；•振子的速度与位移之间有π/2的相位差；•加速度与位移有π的相位差。凭借运动学特征，可以判断系统是否作简谐振动。cos()xAt22020vxA00tanxv000vvxxt初始条件cos0Axsin0Av)sin(tAv)cos(tAx简谐振动的三个判据1)、物体所受合外力(或合外力矩)恒与位移(或角位移)成正比且反向时，物体的运动是简谐振动。数学表达式为2)、任何一个物理量对时间的二阶导数与其本身正比且反号时，该物理量按简谐振动规律变化。数学表达式为Fkx（或）MC222dxxdt3)、任何一个物理量如果是时间的余弦(或正弦)函数，那么该物理量按简谐振动规律变化。数学表达式为cos()xAt3、描述简谐振动的特征量)cos(tAx1)振幅maxxA2)周期、频率π2T周期π21T频率Tπ2π2角(圆)频率3)相位t4、旋转矢量法Amv)2πcos(tAv)cos(2tAa2nAa2πtmvvxy0At)cos(tAxnaa)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE线性回复力是保守力，作简谐振动的系统机械能守恒22pk21AkAEEEmk/2（振幅的动力学意义）谐振系统的动能、势能交替变化，相互转换，而总能量不变。5、简谐振动的能量谐振能量与振幅的平方成正比。动能的时间平均值：势能的时间平均值：弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半。结论222kk001111sin()24TTEEdtkAtdtkATT222pp001111cos()24TTEEdtkAtdtkATT简谐振动能量守恒，振幅不变221kAE11A1xx06、两个同方向同频率简谐振动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动3）一般情况2121AAAAA21AAA2）相位差1）相位差21AAAπ212k)10(，，k相互加强相互削弱π)12(12k)10(，，k7、机械波的形成产生条件：1）波源；2）弹性介质.机械波：机械振动在弹性介质中的传播.8、波长、周期、频率和波速周期或频率只决定于波源的振动!波速只决定于媒质的性质！])(cos[uxtAy沿轴负向ux9、平面简谐波波动方程沿轴正向ux])(cos[uxtAy波动方程的其它形式])(π2cos[)(λxTtAx,ty)cos(),(kxtAtxyπ2k角波数质点的振动速度，加速度])(sin[uxtAtyv])(cos[222uxtAtya10、波的能量振动动能2221ddsin[()]2kxEVAtu弹性势能2221ddsin[()]2pxEVAtu体积元的总机械能222ddddsin[()]kpxEEEVAtu2221dddsin[()]2kpxEEVAtu能量密度：单位体积介质中的波动能量.222dsin[()]dExwAtVu平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.22021d1AtwTwT能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.平均能流：PwuSPIwuS能流密度(波的强度):通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流.IuAI2221介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.11、惠更斯原理利用惠更斯原理可解释波的衍射、反射、折射12、波的干涉1）频率相同；2）振动方向平行；3）相位相同或相位差恒定.波的相干条件1s2sP*1r2r波源振动)cos(111tAy)cos(222tAy)π2cos(1111rtAyp)π2cos(2222rtAyp点P的两个分振动)cos(21tAyyypppcos2212221AAAAA21212πrr常量,2,1,0π2kk,2,1,0π)12(kk2121AAAAA其他21AAA振动始终加强21AAA振动始终减弱cos2212221AAAAA1212π2rr波程差12rr若则21π221AAA振动始终减弱21AAA振动始终加强,2,1,0)21(kk2121AAAAA其他,2,1,0kkcos2212221AAAAA1212π2rr13、驻波驻波的振幅与位置有关txAπ2cosπ2cos2（1）驻波方程)(π2cos1xtAy正向)(π2cos2xtAy负向21yyy各质点都在作同频率的简谐运动)(π2cos)(π2cosxtAxtAtxAyπ2cosπ2cos2驻波方程xπ2cos,2,1,0ππ2kkx,2,1,0π)21(π2kkx10相邻波腹（节）间距24相邻波腹和波节间距振幅随x而异，与时间无关.xAπ2cos2x波腹波节AAkk2,1,02maxmin1()0,1,022kkA（2）驻波的波腹与波节（3）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生的相位跃变.（与行波不同，无相位的传播）.π（4）相位跃变（半波损失）当波从波疏介质垂直入射到波密介质，被反射到波疏介质时形成波节.入射波与反射波在此处的相位时时相反,即反射波在分界处产生的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.πu波疏介质较小u波密介质较大当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射到波密介质时形成波腹.入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.（5）驻波的能量驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.