基本不等式总复习教案

第四节基本不等式[知识能否忆起]一、基本不等式ab≤a＋b21．基本不等式成立的条件：a0，b0.2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．二、几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)．ab≤a＋b22(a，b∈R)；a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．三、算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22四、利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)[小题能否全取]1．(教材习题改编)函数y＝x＋1x(x＞0)的值域为()A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(0，＋∞)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)解析：选C∵x＞0，∴y＝x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号．2．已知m0，n0，且mn＝81，则m＋n的最小值为()A．18B．36C．81D．243解析：选A∵m0，n0，∴m＋n≥2mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立．3．(教材习题改编)已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23解析：选B由x(3－3x)＝13×3x(3－3x)≤13×94＝34，当且仅当3x＝3－3x，即x＝12时等号成立．4．若x1，则x＋4x－1的最小值为________．解析：x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时等号成立．答案：55．已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，则z＝2x＋5y的最小值为________．解析：由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.则2x＋5y≥210xy＝2，故2x＋5ymin＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．答案：21.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a＋b≥2ab，ab≤a＋b22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤a2＋b22；a＋b2≥ab(a，b0)逆用就是ab≤a＋b22(a，b0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．利用基本不等式求最值典题导入[例1](1)已知x＜0，则f(x)＝2＋4x＋x的最大值为________．(2)(·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6[自主解答](1)∵x＜0，∴－x＞0，∴f(x)＝2＋4x＋x＝2－4－x＋－x.∵－4x＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝4－x，即x＝－2时等号成立．∴f(x)＝2－4－x＋－x≤2－4＝－2，∴f(x)的最大值为－2.(2)∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得151y＋3x＝1.∴3x＋4y＝15·(3x＋4y)·1y＋3x＝153xy＋4＋9＋12yx＝135＋153xy＋12yx≥135＋15×23xy·12yx＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.[答案](1)－2(2)C本例(2)条件不变，求xy的最小值．解：∵x＞0，y＞0，则5xy＝x＋3y≥2x·3y，∴xy≥1225，当且仅当x＝3y时取等号．∴xy的最小值为1225.由题悟法用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．以题试法1．(1)当x＞0时，则f(x)＝2xx2＋1的最大值为________．(2)(·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．(3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时取等号．(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a＋2b2(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)．又∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时取等号)，∴3a＋9b≥2×32＝18.即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18.(3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.答案：(1)1(2)18(3)10利用基本不等式解决恒成立问题►(·山东)若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．[审题视点]先求xx2＋3x＋1(x＞0)的最大值，要使得xx2＋3x＋1≤a(x＞0)恒成立，只要xx2＋3x＋1(x＞0)的最大值小于等于a即可．解析若对任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，只需求得y＝xx2＋3x＋1的最大值即可，因为x＞0，所以y＝xx2＋3x＋1＝1x＋1x＋3≤12x·1x＝15，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值范围是15，＋∞答案15，＋∞当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．【训练3】(·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．解析由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案10阅卷报告8——忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.【示例】►已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求1a＋2b的最小值．错因两次基本不等式成立的条件不一致．实录∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴ab≤a＋b22＝14.又1a＋2b≥22ab，而ab≤14，∴1ab≥4，∴1a＋2b≥28＝42，故1a＋2b的最小值为42.正解∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴1a＋2b＝1a＋2b(a＋b)＝1＋2＋ba＋2ab≥3＋2ba·2ab＝3＋22.当且仅当a＋b＝1，ba＝2ab，即a＝2－1，b＝2－2时，1a＋2b的最小值为3＋22.——————[易错提醒]——————————————————————————1.解答本题易两次利用基本不等式，但它们成立的条件不同，这显然是不能同时成立的，故不正确.2.使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.3.在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.【试一试】(·四川)设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1aa－b的最小值是()．A．1B．2C．3D．4[尝试解答]a2＋1ab＋1aa－b＝a2－ab＋ab＋1ab＋1aa－b＝a(a－b)＋1aa－b＋ab＋1ab≥2aa－b·1aa－b＋2ab·1ab＝2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝1aa－b且ab＝1ab，即a＝2b时，等号成立．答案D基本不等式的实际应用典题导入[例2](·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[自主解答](1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．由题悟法利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入16(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．解：(1)设每件定价为t元，依题意，有8－t－251×0.2t≥25×8，整理得t2－65t＋1000≤0，解得25≤t≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋15x有解，等价于x＞25时，a≥150x＋16x＋15有解．∵150x＋16x≥2150x·16x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．1．已知f(x)＝x＋1x－2(x＜0)，则f(x)有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析：选C∵x＜0，∴f(x)＝－－x＋1－x－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时取等号．2．(·太原模拟)设a、b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：a＋b22≤a2＋b22，则p是q成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B命题p：(a－b)2≤0⇔a＝b；命题q：(a－b)2≥0.显然，由p可得q成立，但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要条件．3．函数y＝x2＋2x－1(x1)的最小值是()A．23＋2B．23－2C．