(29)(30)机械振动1运动学

机械振动（29）（30）简谐运动一、简谐振动最简单最基本的线性振动。简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦（或正弦）规律变化的振动。即：)tcos(Ax0简谐振动另一表达形式)tsin()tcos(20020)tsin(x机械振动（29）（30）简谐运动)tcos(Ax0【说明】1、x可代表多个力学量（位移、角位移、速度、加速度）2、等幅振动3、周期振动：x(t)=x(t+T)简谐振动机械振动（29）（30）简谐运动kl0xmoAA范例：弹簧振子的振动00FxxxFmomakxF机械振动（29）（30）简谐运动makxFxtx222ddmk2令xa2)sin(ddtAtxv)cos(dd222tAtxa积分常数，根据初始条件确定)cos(tAxxxFmo机械振动（29）（30）简谐运动题型1、如何判断物体是否作简谐振动？1、进行运动学分析，位移、速度和加速度其中任一个满足与时间的余弦或正弦函数关系，即为简谐振动。2、进行力学分析，物体所受合外力与其位移大小成正比，方向与位移方向相反，物体即作简谐振动。)cos(1tAx)cos(vmtvv)cos(amtaakxF合坐标原点应取在其平衡位置处。3、进行动力学分析，物体位移是否满足简谐运动的微分方程。0222xdtxd机械振动（29）（30）简谐运动0222dtd结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：glTlg2200当时sinsinmglM例题：单摆（近似简谐）gmfTCOmgldtdml222解：摆球对C点的力矩mglMl/g2设机械振动（29）（30）简谐运动例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的轻弹簧、一半径为R、转动惯量为I的定滑轮和一质量为m的物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.TmTmga2FmoxkJR1、力学分析0lkmg解：2、设定平衡位置为坐标原点取位移轴ox，m在平衡位置时，设弹簧伸长量为l，则机械振动（29）（30）简谐运动当m有位移x时maTmgRaIRxlkT)(联立得aRImkx20222xRImkdtxd物体作简谐振动22RImkkRImT222TmTmga2FmoxkJR3、分析一般情况x机械振动（29）（30）简谐运动例.已知：M,m,h,k，要求证明物从静止落下与板粘在一起后作简谐振动，并求周期。解：1、力学分析2、设定坐标系，原点放在力平衡处kLMg)lL(kg)Mm(hmMkLxoxlFFpp3、任意处xg)mM(P)xlL(kF机械振动（29）（30）简谐运动LhmMkoxxlFFppkx)xlL(kg)mMF（合为简谐振动由kxdtxdmM22)(0xmMkdtxd22为简谐振动mMk得即0xdtxd222其中kmM22Tg)mM(P)xlL(kFkLMg)lL(kg)Mm(机械振动（29）（30）简谐运动其通解为：1.简谐振动的运动学方程)tcos(Ax00222xdtxd二、简谐振动的特征量简谐振动的微分方程简谐振动的运动学方程振幅圆频率初相位相位(t+0)是t时刻的相位0是t=0时刻的相位—初相位机械振动（29）（30）简谐运动)cos(tAx（一）振幅maxxA（二）周期、频率kmTπ2弹簧振子周期π2T周期π21T频率Tπ2π2圆频率])(cos[TtA周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关注意tx图AAxT2Tto2.描述简谐振动的特征量机械振动（29）（30）简谐运动1）存在一一对应的关系;),(vxtπ2~02）相位在内变化，质点无相同的运动状态；（三）相位t3）初相位描述质点初始时刻的运动状态.)0(t)(π2nn相差为整数质点运动状态全同.（周期性）π]20[π]π[(取或)tx图AAxT2Tto)sin(tAv)cos(tAx简谐运动中，和间不存在一一对应的关系.xvvvv机械振动（29）（30）简谐运动22020vxA00tanxv（四）常数和的确定A000vvxxt初始条件cos0Axsin0Av对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.)sin(tAv)cos(tAx机械振动（29）（30）简谐运动cos0A2π0sin0Av2π0sin取0,0,0vxt已知求讨论xvo)2πcos(tAxAAxT2Tto机械振动（29）（30）简谐运动00cos0Axt时00sinAv000tanxv2020)(vxA则)cos(0tAx(或.T).A和初相位三个特征量确定，则谐振动方程就被唯一确定。建立简谐振动方程就是确定A,和初相位。其中(或.T)由系统本身的性质决定。A和初相位由系统的初始条件（x0,v0)决定。题型2、如何建立简谐振动方程初相有两个数学解，需根据x0或v0的正负来分辨机械振动（29）（30）简谐运动例.已知：M,m,h,k，要求以物与板相碰时间作为记时起点，写出简谐振动方程。解：前面已经求出hmMkLxoxlFFpp0xmMkdtxd22kmM22TmMk0tkmglx0mMgh2mv00t则当机械振动（29）（30）简谐运动0tkmglx0mMgh2mv0（注意正负号！）k)mM(ghm2)kmg()v(xA222020g)mM(kh2tg)xv(tg1o01振动方程为)g)mM(kh2tgtmMkcos(k)mM(ghm2)kmg(x122代入公式得讨论：若轴向上为正，写方程有那些变化？xkx)xlL(kg)mMF（合取第3象限值取第1象限值机械振动（29）（30）简谐运动三.简谐振动的描述方法1.解析法2.曲线法oA-Atx=/2T由已知表达式A、T、已知A、T、表达式)tcos(Ax000已知曲线A、T、已知A、T、曲线00机械振动（29）（30）简谐运动tx图tv图ta图TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取π2T)2πcos(tA)sin(tAv)πcos(2tA)cos(2tAa机械振动（29）（30）简谐运动0t=0Axt+0t=tA)tcos(Ax0ox【一、讲解】3.旋转矢量法机械振动（29）（30）简谐运动以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAcos0Ax当时0t0x【一、讲解】机械振动（29）（30）简谐运动以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xAoxoAttt)cos(tAx时【一、讲解】机械振动（29）（30）简谐运动)cos(tAx旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xA【一、讲解】机械振动（29）（30）简谐运动（旋转矢量旋转一周所需的时间）π2T用旋转矢量图画简谐运动的图tx【一、讲解】机械振动（29）（30）简谐运动例：相位3t1，问状态？3xx2Ax,且向负向运动。相位23t2，问状态？0x，且向正向运动。x例：o注意四个特殊状态的值！A【二、应用】讨论旋转矢量法的应用1、分析振动状态x2Ao0Ax20xAx230x机械振动（29）（30）简谐运动x，，，求？例：0t2Ax00v03或35例：0t，2Ax0，0v0,求？432A2Ao【二、应用】讨论旋转矢量法的应用2、求相位35035321cos2cos得再考虑或得原来：由vAAx机械振动（29）（30）简谐运动讨论旋转矢量法的应用3、分析相位差关系概念：相差、同相、反相、超前、滞后相位差两振动相位之差12当=2k,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相当=(2k+1),两振动步调相反,称反相0xto同步xto为其它超前落后txoπ反相机械振动（29）（30）简谐运动讨论旋转矢量法的应用3、分析相位差关系，则称若02超前于1或1滞后于2相位差反映了两个振动不同程度的参差错落0xto同步xto为其它超前落后txoπ反相机械振动（29）（30）简谐运动用旋转矢量法表示相位关系x1A2Ax1A2Ax1A2A同相反相2超前于1或1滞后于2机械振动（29）（30）简谐运动1）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异.（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt122）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间.)()(12tt)cos(1tAx)cos(2tAx12ttt讨论旋转矢量法的应用3、分析相位差关系机械振动（29）（30）简谐运动AAx2AtoabxAA0讨论利用【相位差】求【时间差】at3πTTt61π23πv2Abt12ttt机械振动（29）（30）简谐运动)tcos(a)tcos(Aam002)tcos(Ax0)tcos(v)tsin(Avm200简谐振动位移、速度、加速度之间的相位关系toTavx...avxT/4T/400利用机械振动（29）（30）简谐运动由图可见：2va超前2xv超前xt+o·Amvma090090机械振动（29）（30）简谐运动例1如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数，物体的质量.（1）把物体从平衡位置向右拉到处停下后再释放，求简谐运动方程；1mN72.0kg20mm05.0xm05.0x10sm30.0v（3）如果物体在处时速度不等于零，而是具有向右的初速度，求其运动方程.2A（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；m/xo0.05机械振动（29）（30）简谐运动ox解（1）11s0.6kg02.0mN72.0mkm05.0022020xxAv0tan00xvπ0或A由旋转矢量图可知0)cos(tAx])s0.6cos[()m05.0(1t机械振动（29）（30）简谐运动oxA2A解)cos(tAx)cos(tA21)cos(Axt3π53π或tA3πt由旋转矢量图可知tAsinv1sm26.0（负号表示速度沿轴负方向）Ox2A（2）求物体从初位置运动到第一次经过处时的速度；机械振动（29）（30）简谐运动解m0707.022020vxA＇1tan00xv＇4π34π或＇ox＇A4π)cos(tAx]4π)s0.6cos[()m0707.0(1tm05.0x10sm30.0