《专题一：常用逻辑用语》知识点+例题

-1-常用逻辑用语知识点+例题专题一：常用逻辑用语1、命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题;复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题.2、四种命题及其相互关系四种命题的真假性之间的关系：⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3、充分条件、必要条件与充要条件⑴、一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，则p是q的充分必要条件，简称充要条件．⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件p与结论q之间的关系：Ⅰ、从逻辑推理关系上看：①若pq，则p是q充分条件，q是p的必要条件；②若pq，但qp，则p是q充分而不必要条件;③若pq，但qp，则p是q必要而不充分条件;④若pq且qp，则p是q的充要条件；⑤若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：已知Axx满足条件p，Bxx满足条件q：①若AB,则p是q充分条件；②若BA,则p是q必要条件；③若AB，则p是q充分而不必要条件;④若BA，则p是q必要而不充分条件;⑤若AB，则p是q的充要条件；⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件.4、复合命题⑴复合命题有三种形式：p或q（pq）；p且q（pq）；非p（p）.⑵复合命题的真假判断“p或q”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；“p且q”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；“非p”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.5、全称量词与存在量词⑴全称量词与全称命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.⑵存在量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题.⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定①全称命题p：,()xpx，它的否定p：00,().xpx全称命题的否定是特称命题．②特称命题p：00,(),xpx，它的否定p：,().xpx特称命题的否定是全称命题.四种命题的相互关系及真假判断下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．其中是真命题的是________．-2-判断四种命题间关系、真假的方法(1)写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写，当一个命题有大前提时，写其他三个命题时，大前提需要保持不变；(2)当一个命题直接判断真假不容易进行时，可转而判断其逆否命题的真假．[通关练习]1．命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是()A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D[解析]将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.2．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为________(填写所有真命题的序号)．充分条件、必要条件的判断充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．(1)“a＝－1”是“直线ax＋3y＋3＝0与直线x＋(a－2)y＋1＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上是增函数”是“a2”的________条件．充要条件问题的常见类型及解题策略(1)充要条件的三种判断方法有定义法、集合法、等价转化法(见本讲要点整合)．(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．[题点通关]角度一判断指定条件与结论之间的关系1．(2016·高考天津卷)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件角度二探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件2．命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是()A．a≥1B．a1C．a≥4D．a4角度三与命题的真假性相交汇命题-3-3．下列命题中真命题的个数是()①x＝2是x2－4x＋4＝0的充要条件；②α＝β是sinα＝sinβ的充分条件；③ab既不是a2b2的充分条件也不是必要条件．A．0B．1C．2D．3充分条件、必要条件的应用已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(2017·常德一中月考)若“x2－x－60”是“xa”的必要不充分条件，则a的最小值为________．练习：已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．练习：已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________．练习：已知命题p：A＝{y|y＝x2－32x＋1，x∈－12，2}，q：B＝{x||x－m|≥1}，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．练习：已知p：x2－2x－30，若－ax－1a是p的一个必要条件但不是充分条件，求使ab恒成立的实数b的取值范围．考点四全称命题、特称命题全称命题与特称命题是高考的常考内容，多与其他数学知识相结合命题，以选择题、填空题的形式出现．高考对全称命题、特称命题的考查主要有以下两个命题角度：(1)判断全称命题、特称命题的真假性；(2)全称命题、特称命题的否定．例题4(1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则p为()A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n(2)下列命题中的假命题为()A．∀x∈R，ex0B．∀x∈N，x20C．∃x0∈R，lnx01D．∃x0∈N*，sinπx02＝1(1)全、特称命题的真假判断方法①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．②要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，-4-这一特称命题就是假命题．(2)全称命题与特称命题的否定一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可．[题点通关]角度一判断全称命题、特称命题的真假性1．有下列四个命题，其中真命题是()A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，∃m∈R，m2nD．∀n∈R，n2n角度二全称命题、特称命题的否定2．命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定为()A．对任意x∈R，都有x2ln2B．不存在x∈R，使得x2ln2C．存在x0∈R，使得x20≥ln2D．存在x0∈R，使得x20ln2考点五含有逻辑联结词的命题的真假判断例题5已知命题p：“∀x∈R，ex＞0”，命题q：“∃x0∈R，x0－2＞x20”，则()A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(﹁q)是真命题D．命题p∨(﹁q)是假命题(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤①先判断简单命题p，q的真假．②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系①p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(¬p)∧(¬q)假．②p∨q假⇔p，q均假⇔(¬p)∧(¬q)真．③p∧q真⇔p，q均真⇔(¬p)∨(¬q)假．④p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(¬p)∨(¬q)真．⑤¬p真⇔p假；¬p假⇔p真．练习：已知命题p：∀x∈R，2x3x，命题q：∃x0∈R，x30＝1－x20，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．(﹁p)∧qC．p∧(﹁q)D．(﹁p)∧(﹁q)考点六由命题的真假确定参数的取值范围例题6已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p∨q是真命题，则实数a的取值范围-5-(1)已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2(2)已知c0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在12，＋∞上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．(3)已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1，1]，使得m≤ax成立．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)当a＝1时，p且q为假命题，p或q为真命题，求m的取值范围．（4）设p：函数f(x)＝a－32x是R上的减函数．q：函数g(x)＝x2－4x＋3在[0，a]上的值域为[－1，3]，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求a的取值范围．(5)已知命题p：不等式2x－x2m对一切实数x恒成立，命题q：m2－2m－3≥0，如果“﹁p”与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围(6)设命题p：a∈{y|y＝－x2＋2x＋8，x∈R}，命题q：关于x的方程x2＋x－a＝0有实根．(1)若p为真命题，求a的取值范围；(2)若“p∧q”为假命题，且“p∨q”为真命题，求a的取值范围．(7)已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2(x≥0)，且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，又g(1)＝0，f(3)＝2－3.(1)求f(x)的表达式及值域；(2)问是否存在实数m，使得命题p：f(m2－m)f(3m－4)和q：gm－1434满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由(8)已知a0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递减，q：函数y＝2x－2a（x≥2a），2a（x2a）且y1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．