平面向量题型归纳

平面向量题型归纳一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB或a。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。例：已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB或||a。3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则||1e。(与AB共线的单位向量是||ABAB)；5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点ABC、、共线ABAC、共线；如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（）A.ABCDB.ABADBDC.ADABACD.ADBC07．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a、ABBA。例：下列命题：（1）若ab，则ab。（2）若,abbc，则ac。（6）若//,//abbc，则//ac。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。其中正确的是_______题型1、基本概念1：给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a=b；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行；④若a=b，b=c，则a=c；⑤若a//b，b//c，则a//c；⑥00a；⑦00a；其中正确的序号是。2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。BDCA（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD。（5）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。（7）若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。（8）若mamb，则ab。（9）若mana，则mn。（10）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。（11）若||||abab，则//ab。（12）若||||abab，则ab。二、向量加减运算8.三角形法则：ABBCAC；ABBCCDDEAE；ABACCB（指向被减数）9.平行四边形法则：以,ab为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab，ab。题型2.向量的加减运算1、化简()()ABMBBOBCOM。2、已知||5OA,||3OB,则||AB的最大值和最小值分别为、。3、在平行四边形ABCD中，若ABADABAD，则必有()A.0ADB.00ABAD或C.ABCD是矩形D.ABCD是正方形题型3.向量的数乘运算1、计算：（1）3()2()abab（2）2(253)3(232)abcabc题型4.作图法求向量的和1、已知向量,ab，如下图，请做出向量132ab和322ab。题型5.根据图形由已知向量求未知向量1、已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量ABAC，表示AD。2、在平行四边形ABCD中，已知,ACaBDb，求ABAD和。题型6.向量的坐标运算1、已知(1,4),(3,8)ab，则132ab。练习：若物体受三个力1(1,2)F,2(2,3)F,3(1,4)F,则合力的坐标为。2、已知(3,5)PQ，(3,7)P，则点Q的坐标是。3、.已知(3,4)a，(5,2)b，求ab，ab，32ab。2、已知(1,2),(3,2)AB,向量(2,32)axxy与AB相等，求,xy的值。5、已知O是坐标原点，(2,1),(4,8)AB，且30ABBC，求OC的坐标。三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型7.判断两个向量能否作为一组基底1、已知12,ee是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.1212eeee和B.1221326eeee和4C.122133eeee和D.221eee和练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（）(A))2,1(),0,0(21ee(B))7,5(),2,1(21ee(C))10,6(),5,3(21ee(D))43,21(),3,2(21ee2、.已知(3,4)a，能与a构成基底的是（）A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55D.4(1,)33、知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x－y的值等于4、设21,ee是两个不共线的向量，2121212,3,2eeCDeeCBekeAB，若A、B、D三点共线，求k的值.5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足OC=αOA+βOB，其中α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为（）A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=0四．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作,OAaOBb，AOB0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝2时，a，b垂直。实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1,2aa当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，0a，注意：a≠0。例1、已知,ADBE分别是ABC的边,BCAC上的中线,且,ADaBEb,则BC可用向量,ab表示为_____例2、已知ABC中，点D在BC边上，且DBCD2，ACsABrCD，则sr的值是2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量||||cosab叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：ab，即ab＝cosab。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3．向量的运算律：1．交换律：abba，aa，abba；2．结合律：,abcabcabcabc，ababab；3．分配律：,aaaabab，abcacbc。题型8：有关向量数量积的判断1：判断下列各命题正确与否：（1）)()(cbacba；（2）若abac，则bc当且仅当0a时成立；（3）cbcacba)(；（4）()()abcabc对任意,,abc向量都成立；（5）若0,aabac，则bc；（6）对任意向量a，有22aa。(7)m（ba）=ma+mb其中正确的序号是。2、下列命题中：①cabacba)(；②cbacba)()(；③2()ab2||a22||||||abb；④若0ba，则0a或0b；⑤若,abcb则ac；⑥22aa；⑦2abbaa；⑧222()abab；⑨222()2abaabb。其中正确的是______题型9、求单位向量【与a平行的单位向量：||aea】1.与(12,5)a平行的单位向量是。2.与1(1,)2m平行的单位向量是题型10、数量积与夹角公式：||||cosabab；cos||||abab向量的模：若(,)axy，则22||axy，22||aa，2||()abab1、△ABC中，3||AB，4||AC，5||BC，则BCAB_________2、已知11(1,),(0,),,22abcakbdab，c与d的夹角为4，则k等于____3、已知||3,||4ab，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）()aab，（3）1()2abb，（4）(2)(3)abab。4、已知,ab是两个非零向量，且abab，则与aab的夹角为____5、已知(3,1),(23,2)ab，求a与b的夹角。6、已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求cosBAC。7、已知非零向量ba,满足）（，abbba2，则ba与的夹角为8：已知ABC中50ABC,BCBA,则BA与AC的夹角为9：已知向量a与向量b的夹角为120°，若向量c=a+b，且a⊥c，则ab的值为10：★已知|a|＝1|b|＝2，|a＋b|＝2，则b与2a-b的夹角余弦值为．11：已知向量｜a｜=2，｜b｜=2，a和b的夹角为135，当向量a+b与a+b的夹角为锐角时，求的取值范围。题型11、求向量的模的问题如向量的模：若(,)axy，则22||axy，22||aa，2||()abab1、已知零向量bbabaa，则），（25,10.,122、已知向量ba,满足bababa，则2,2,13、已知向量a)3,1(，bab，则)0,2(4、已知向量baba则),cos,1(),sin,1(的最大值为5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，(A)8(B)4(C)2(D)16、设向量a，b满足1ba及334ba，求ba53的值练习：已知向量ba,满足，3.,5,2baba求baba和7、设向量a，b满足的值为则babaaba2),2(,2,18、已知向量a、b满足1a，4||b，则|a－b|的最大值是最小值是。题型12、结合三角函数求向量坐标1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，||2OA，150xOA，求OA的坐标。2.已知O是原点，点A在第一象限，||43OA，60xOA，求OA的坐标。五、平行与垂直知识点：1221//ababxyxy；题型13：向量共线问题1、已知平面向量），（xa32，平面向量），，（182b若a∥b，则实数x2、设向量），（），，（3212ba若向量ba与向量)74(，c共线，则3、已知向量），（），，（xba211若abba24与平行，则实数x的值是（）A．-2B．0C．1D．2练习：设(,12),(4,5),(10,)PAkPBPCk，则k＝_____时，A,B,C共线5、已知ba,不共线，badbakc,，如果c∥d，那么k=,c与d的方向关系是练习：已知(1,1),(4,)abx，2uab，2vab，且//uv，则x＝______6、已知向量且），（），，（,221mbaa∥b，则ba32题型14、向量的垂直问题1、已知向量babxa且），（)6,3(,1，则实数x的值为2、已知向量abbanbna垂直，则与），若，（），，（211练习：已知a=（1，2），b=（-3，2）若ka+2b与2a-4b垂直，求实数k的值3、已知单位向量mmnnm），求证：（的夹角为和234、