第三章刚体的运动

第三章刚体的定轴转动3-1刚体的基本运动一、刚体在任何情况下物体的形状和大小都不会变化，因而可以瞬时传递力。即：质元间保持不变，称“不变质点系”。刚体是个理想化的模型。CABFtt+t才感受到力二、刚体的运动形式*刚体上所有质元都沿平行路径运动,各个时刻的相对位置都彼此固定。1.平动*可用质心或任一点的运动来代表刚体的运动。*平动是刚体的基本运动形式之一。ABCABCABC2.转动*转动也是刚体的基本运动形式之一，可分为定轴转动和定点转动。①定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。②定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。3.一般运动可分解为两种刚体的基本运动：随基点O（可任选）的平动；绕通过基点O的瞬时轴的定点转动。1.刚体上所有质元都在作半径不等的圆周运动；三、定轴转动的刚体特点2.各圆周轨道均垂直与转轴，称：转动平面；圆心即为转心。3.各质元作圆周运动的线量各不相同，角量相同。四、角速度矢量方向：沿瞬时轴，与转向成右螺旋关系。2.线速度与角速度的关系：1.角速度矢量的规定：大小ddt转向vωrrP×基点O瞬时轴刚体vrr例题1一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速转动（沿z轴正方向）。设某时刻刚体上一点P的位置矢量为，则该时刻P点速度。345rijk解：11602()(2)60kradskrads112[345](86)vrkijkmsijms3-2刚体定轴转动的转动定律与转动惯量一、力矩MrFFMr·Omr0r·OMFF1.力对定点O的力矩2.力偶矩0MrFsinrF其中：称力臂0rrsin或：MrF例题2物体在力场中运动，已知质量m=1kg，t=0时刻质点位于原点，且速度为0。求:t=2s时该质点所受的对原点的力矩。2(34)(126)Fttitj解：2(34)(126)Fattitjm23220[(34)(126)]d(2)(66)tvttitjtttittj3224332012[(2)(66)]d()(23)43trttittjtttittj4[()4][418]403MrFijijk以上物理量的单位皆为相应的国际单位。二、转动定律zrivim对质元iddiiiivFFmt外内iiiiiFFmamr外内对刚体（质点系）：2()iiiiiiFrFrmr外内令：2ziiiJmrddzzzMJJt--刚体定轴转动的微分方程三、转动惯量1.刚体对Z轴的转动惯量2ziiiJmr若质量离散分布:若质量连续分布:2dzJrm*转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即:与刚体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。反映刚体转动惯性的量度。yrixzyiximi②平行轴定理：yrixzmi2cJJmddC③垂直轴定理：（薄片适用）zxyJJJ例题3求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量（轴与圆环平面垂直并通过圆心）。解：222ddJRmRmmRORdm例题4求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。ABLxABL/2L/2Cx解：取如图坐标22221d12LLCmJxxmLL2201d3LAmJxxmLLddmmxL2()2AcLJJm例题6求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。R解：取半径为r宽为dr的薄圆环；圆盘的质量面密度为d2dmrr23dd2dJrmσπrr3401d2d2RJJσπrrσπR2mRRrdr212mR例题5质量为m的矩形均匀薄板,长为a宽为b,求它对通过板的几何中心并与板面垂直的z轴的转动惯量。xyzabxyzab解：薄板位于xOy面内。xyab22221d12aaxmJybymaab22221d12bbymJxaxmbab221()12zxyJJJmab由垂直轴定理可得例题7求:内半径为R1外半径为R2质量为m的匀质中空圆柱绕其对称轴的转动惯量oo2221d2d()mmrrRR21222212d()RRmJrrrRR22211()2mRR2R1Rr例题8求：质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量sinRd解:在球面取一圆环带，半径rRsin2d2d4mmrRR2dJrm23202sindmR223mR例题9求：质量为m半径为R的匀质球体绕过球心轴的转动惯量MR解:把球体看作无数个同心薄球壳的组合32d4d43mmrrR233dmrrR22dd3JJrm4302dRmrrR225mR1.质点m对惯性系中的固定点O的角动量为：一、角动量（动量矩）3-3角动量角动量守恒定律LmOpr·()LrprmvLrpsinrmvsin大小：方向：rpv，（）决定的平面（右螺旋）LRvm·O*质点作匀速率圆周运动时，对圆心的角动量的大小为方向圆平面不变。*同一质点的同一运动，其角动量可以随不同的固定点而改变。0omLrmv0Llmv方向变化''omoLrmv'sinoLlmv方向竖直向上，不变OlvO锥摆mLRmv解：2(34)(126)Fattitjm23220[(34)(126)]d(2)(66)tvttitjtttittj3224332012[(2)(66)]d()(23)43trttittjtttittj4[()4]12163Lrpijjk以上物理量的单位皆为相应的国际单位。例题10物体在力场中运动，已知质量m=1kg，t=0时刻质点位于原点，且速度为0。求:t=2s时该质点对原点的角动量。2(34)(126)Fttitj例题11如图所示的坐标系中，t=0时刻将质量为m的质点由a处静止释放，让它自由下落，求任意时刻t，该质点对原点O的力矩及其角动量。OayxbOayxb解：任意时刻t()MrFxiyjmgjmgxkmgbkvmg()()xyyLrpxiyjvivjvxkmgtbk2.刚体对固定转动的角动量：对质元i对刚体（质点系）()iiiiiiLrprmv()iiiiiiLLrmv22()iiiiiiLmrmr·pro转动平面zJ二、角动量定理Lrp两边对时间求导：dd()ddLrpttddddrpprttrF1.单个质点的角动量定理:ddLMt①微分形式：ddLMt或：2121dttMtLL21dttMt其中：称冲量矩—力矩对时间的积累作用②积分形式：gm例题12锥摆的角动量0Trom）（mglgmromsinTrgmrmomo0）（gmrTrmomo①对O点：合力矩不为零，角动量变化。②对O点：合力矩为零，角动量大小、方向都不变。OlvO锥摆mTddddiiLLtt（））（内外iiiMMddiiLt2.刚体定轴转动的角动量定理ddiiLMt对质点i整个刚体刚体viω,定轴zmiΔriFi0)(ijijiiiifrMM内内ddLMt外iiiiiFrMM外外由于：--刚体的角动量定理①微分形式：zzMJβ外②积分形式：21212211dttMtLLJωJωddLMJt外应用转动定律的基本方法和步骤：4.求解联立方程。1.分析物体受力，确定外力矩；2.列出转动定律和牛顿定律方程；3.列出线量和角量之间的关系式；例题13一根轻绳跨过一个半径为r，质量为M的定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的物体，如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转动的角加速度和绳的张力。m2m1Mm2m1Mm1gT1am2gT2aT2T1解：分别对物体和滑轮进行受力分析，如图对m2111mgTma222Tmgma对定滑轮对m121212rTrTMr且有ar可得1212()()2mmgMmmr1212()2mmgaMmm121112(2)22MmmmgTMmm122212(2)22MmmmgTMmm例题14图示物体质量分别为mA和mB，圆柱形滑轮质量为mc，半径为R，不计桌面和轮轴摩擦力。求：⑴两物体的加速度和绳的张力；⑵物体B从静止落下距离y时，其速率为多少？AmCmBmBmg2TBmAmg1TNAm解：分别对物体和滑轮进行受力分析，如图物体A1ATma物体B2BBmgTma对定滑轮C22112RTRTMR又aR2Tcmg1TCF可得12BABCmagmmm112ABABCmmTgmmm21()212ACBABCmmmTgmmm2212BABCmgyvaymmm例题15如图所示，小球m沿半径为R的圆环轨道由A静止下滑，不计摩擦，求小球滑到任意点B（与A夹角为）时对环心的角动量和角速度。OABRmgNv解：小球受力如图，对环心OOABRcosMRmgddLMt由质点的角动量定理dcosdLRmgt其中和的方向相同。MLdcosdddLdRmgt：两边乘2LmR2cosLRmgddLdLmR22sinLgmRR200cosLLRmgddLmR积分：232sinLmgR=可得：三、角动量守恒定律角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，而且在高速低速范围均适用。0M0FF过O点，有心力。00dLMdt若，则，角动量守恒1.单个质点的角动量守恒定律例题16（行星运动的开普勒第二定律）在太阳系中任一行星对太阳的位矢在相等的时间间隔内扫过的面积相等，即掠面速度不变。rLvSmLmvrsin解：天体受万有引力作用，对力心角动量守恒。001d2dttrvtsinSSlimlimconsttttddzzLMt0zzML当：时，常矢量2211JωJω即：2.刚体的角动量守恒定律*守恒定律中涉及的外力矩、转动惯量和角动量都是对同一转轴而言的。例题17体重相等的甲乙两人，各抓住跨过滑轮的绳的两端，如图所示。当他们从同一高度向上爬时，相对于绳子甲的速率是乙的两倍，问谁先到达顶点?假定绳和滑轮的质量及各种摩擦都忽略。解：对滑轮转轴而言，两人组成的系统角动量守恒0RmvRmv甲乙（）速度应为对同一惯性系（地面或定滑轮）而言，故两人同时到达顶点。例题18一长为l的轻质杆端部固结一小球m1,另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。求：碰撞后杆的角速度ω。lm1Ov0m2碰撞时重力和轴的作用力都通过O，对O力矩为零，故角动量守恒。则222012[()]22llmvmlm021224vmmml解：选m1（含杆）+m2为系统解得：lm1Ov0m23-4转动动能定理一、刚体定轴转动的动能把刚体看作无限多质元构成的质点系。2221122kiiiiEmvmr212kEJ二、力矩的功设刚体定轴转动中，刚体质元i在切向力的作用下，绕轴转过dFddddiiiiiiAFrFsFr即ddiiAM对整个刚体：2211(d)diiAAMMdrFz21ddiiiAAM三、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理：*合外力矩对绕定轴转动