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七年级数学寒假专题——代数式【本讲教育信息】一.教学内容：寒假专题——代数式1．理解字母表示数的重要意义以及代数式的意义，会根据实际问题列代数式，会求代数式的值，能解释代数式的值所表示的实际意义。2．理解同类项、合并同类项的意义，掌握合并同类项的法则，并能正确合并同类项、根据合并同类项化简求值。3．掌握去括号的法则，并能根据去括号的法则进行代数式的化简与求值。4．进一步熟悉计算器的使用，能借助计算器探索数量关系，解决某些实际问题。5．会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。二.学习重难点：1．重点：列代数式，根据代数式化简求值，根据图形进行规律探索。2．难点：根据代数式说出它所表示的实际意义，利用去括号法则去括号以及探索图形中的规律问题。3．主要考点：（1）根据实际问题列代数式；（2）代数式的化简求值；（3）探索规律三.知识要点讲解：（一）明确代数式的特征代数式是一个非常重要的概念，它贯穿于初中代数的始终，我们可以看出代数式的三个特征：1．代数式是用运算符号把数和表示数的字母连结而成的。如：3a、a+b等。2．单独一个数或一个字母也是代数式。如：7、x等。3．代数式中是不含等号的。运算律、公式，它们都是以等号形式出现的，应该说，这些等式的左、右两边，各是一个代数式。如：S=ab，它是用等号把代数式S与ab连结起来而成为公式，所以S=ab不是代数式，而是公式。（二）注意代数式的书写格式1．代数式中出现的乘号，通常简记作“·”或省略不写。数字和数字相乘，乘号不能省略；数字和字母相乘，可以省略乘号，但数字必须写在字母前面，如：a×2可记作2a，不能写成a2；字母和字母相乘时，除可省略乘号外，一般习惯按英文字母表示的自然顺序来书写，如：y×x×2，可简记为2xy。2．带分数和字母相乘时，若要省略乘号，须把带分数化成假分数，如：x×142，记作92x，不能写成142x，另外，当一个因数是1时，通常省略不写，如1×a，不能写成1a，而应记作a。3．代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如：s÷t应记作st，ah÷2记作2ah。4．写代数式的答案时，若是乘、除关系的，单位名称直接写在式子的后面，如：正方形面积是12a平方厘米，无需加括号；若是加减关系时，必须把式子用括号括起来，再写单位，如：三角形的周长是（a+b+c）米。（三）掌握列代数式的要点列代数式就是把问题中与数量关系相关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。首先弄清问题中的数量关系，如：和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、增加到、减少到、增加了、减少了等，并把这些语言转化为算式。其次是弄清问题中的运算顺序，特别是注意括号的运用。最后要明确列代数式与小学的算术列式类似，所不同的是把数改为表示数的字母来列式。例1.设甲数为x，用代数式表示乙数（1）乙数比甲数的2倍小3；（2）乙数比甲数大16％，解：（1）中的甲数转化为“x”，“小”转化为运算符号“－”，先表示甲数的2倍2x，再表示比2x小3的数是2x－3。（2）中甲数的16％即为：16％·x，“大”转化为运算符号“+”，即“x+16％·x或（1+16％）x。例2.设甲数为x，乙数为y，用代数式表示（1）甲乙两数的平方和（即平方的和）。（2）甲乙两数的和与甲乙两数的差的积。解：（1）中就是：甲数的平方+乙数的平方，注意先平方后和，即x2+y2。（2）中就是：（甲数+乙数）×（甲数－乙数），注意先算和、差，再相乘，和、差要添括号，即（x+y）（x－y）。（四）准确求出代数式的值一般地，把用数值代替代数式里的字母，按照代数式中指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值，在这个概念中，实际上也指出了求代数式的值的方法，即一是代入、二是计算，当代数式中有多个字母时，代入值不要混淆，式中的同一个字母其值应该是相同的，在进行运算时，既要分清运算的种类，又要注意运算顺序。某些求代数式的值的题目，没有直接给出代数式中相关字母的值，而是给出某种关系，这时要认真仔细观察题目特征，运用整体代换的方法来进行求值。例3.若代数式2x+3y+7的值是8，那么4x+6y+10的值是多少?解：本题没有给出x、y的值，而是已知2x+3y+7=8，这时易知2x+3y=1，然后再观察4x+6y+10这个代数式，其式中的4x+6y正好是2x+3y的2倍，即4x+6y=2（2x+3y），所以4x+6y=2，此时4x+6y+10的值就是2+10=12了。（五）会应用代数式解决实际问题应用数学知识解决实际问题是学习数学的目的，灵活应用代数式，可以解决许多实际问题。例4.用a米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地。现有两种设计方案：一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地。试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大?并说明理由。解：设S1、S2分别表示围成的正方形场地和圆形场地的面积，则4a2aS,16a4aS222221∵π＜4，∴4a16a,41122∴S2＞S1，故应选用围成圆形场地的方案，它的面积较大。例5.暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：大人买一张全票，两个孩子的费用可按全票价的一半优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按原价的60％收费。已知两个旅行社的原价相同，问选择哪个旅行社，能多省钱?解：设两个旅行社的原票价为a（a0）元，则甲旅行社的收费为a+2×0.5a=2a（元），乙旅行社的收费为3×60％a=1.8a（元）。因为2a1.8a，所以选择乙旅行社能多省钱。（六）在列代数式中培养创新能力“创新是一个民族的灵魂。”我们每个中学生都应具有创新意识，在数学学习中创新，就是要对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，会从数学的角度发现和提出问题，并加以探索和解决。例6.给出下列算式：32－12=8=8×1，52－32=16=8×272－52=24=8×3，92－72=32=8×4观察上面一系列等式，你能发现什么规律?用代数式表述这个规律。分析：观察可知左边是连续奇数的平方差（大数减小数），右边是8的倍数，其规律可用代数式表述为（2n+1）2－（2n－1）2=8n（n为自然数）。例7.问题：你能很快算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n+5，问题即转化求（10n+5）2的值（n为自然数），试分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论（在下面横线上填上你的探索结果）。（1）通过计算，探索规律：152=225，可写成100×1×（1+1）+25，252=625，可写成100×2×（2+1）+25，352=1225，可写成100×3×（3+1）+25，452=2025，可写成100×4×（4+1）+25，752=5625，可写成_____________。852=7225，可写成_____________。……（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得：（10n+5）2=_____________。（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952=______解：（1）l00×7×（7+1）+25，100×8×（8+1）+25；（2）100n（n+1）+25，n为自然数；（3）100×199×（199+1）+25=3980025。本例的实质是先用代数式表示出一般情况，再求特殊情况下代数式值的计算规律，归纳出一般性结论，再求这个一般性结论中代数式的值，体现了“特殊——一般——特殊”的思想方法，这正是用字母代数（从特殊到一般）后再求代数式的值（从一般到特殊）这种思想方法的反复应用。发现是创新的前提，以上两例要求同学们从具体、特殊的事例中探究其存在的规律，并把潜藏在现象中的本质挖掘出来，并用代数式加以表示。规律被找出，即是完成了一个创新过程。四.思想方法1．代数思想：用字母表示数，并让字母和数一样参加运算是数学中重要的思想方法.在解决一些实际问题时，通过用字母表示某些量进行计算，可使运算非常简捷。2．分类思想：字母可以表示正数，也可以表示负数或0，在具体的求值中，如果没有明确字母的具体取值，则需要对字母的取值分类讨论。在求代数式的值或比较代数式的值的大小时，应注意分类思想的应用。3．整体思想：代数式的化简，有时可以从整体的角度思考问题，即将局部放在整体中去观察分析探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙解决。在代数式的化简中应注意这种数学思想的应用。【典型例题】1．列代数式和列代数式有关的题目主要包含以下几点：①根据实际问题列代数式；②用代数式解决实际问题；③已知代数式，从实际问题角度出发说出代数式所能表示的实际问题。解决问题的关键是理解题目中的数量关系，注意一些公式的应用。例1.如图1，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地，若圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米.则空地面积用代数式表示为_____。图1分析：本题是一道数形结合题，要用代数式表示空地的面积，观察图形可知：空地的面积等于长方形的面积减去四个四分之一圆的面积，也就是长方形的面积减去一个半径为r米的圆的面积.因为长方形的面积为ab平方米，圆的面积为2r平方米，所以空地的面积为（ab－2r）平方米。解：（ab－2r）评注：根据图形中的数量关系列代数式也是一个重要类型，解决此类问题需要了解图形的一些特征，如长方形的面积的公式，圆的面积的公式等。例2.代数式22(0)mnmn的两个实际意义是：，。分析：此类问题的答案较多，只要能用代数式表达出实际意义即可.如：大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，大正方形与小正方形的面积差是多少.再如，摩托车每辆m元，自行车每辆n元，m辆摩托车比n辆自行车贵多少钱。解：略评注：说出代数式的实际意义，一定要注意所写的实际问题要有意义.能够和代数式相吻合。2.代数式的化简与代数式的化简有关的题目主要涉及先去括号，再合并同类项.解决问题的关键是正确使用去括号法则以及合并同类项的法则，并注意乘法分配律的使用。例3.化简（8xy－3x2）－5xy－3（xy－2x2+3）分析：本题是一道综合化简题，首先要根据去括号法则去括号，然后再根据合并同类项的法则合并同类项。解：（8xy－3x2）－5xy－3（xy－2x2+3）=8xy－3x2－5xy－3xy+6x2－9=3x2－9.评注：使用乘法分配律注意不要漏乘括号内的项，括号前是“－”时，去括号应注意变号。例4.化简3（x－y）－2（x+y）－5（x－y）+4（x+y）+3（x－y）分析：此题的一般解法是去括号，然后合并同类项，若按常规的方法，需去5个括号，计算较繁琐，若将（x+y），（x－y）各看作一整体，进行整体合并，则化简快捷方便。解：3（x－y）－2（x+y）－5（x－y）+4（x+y）+3（x－y）=3（x－y）－5（x－y）+3（x－y）－2（x+y）+4（x+y）yx3y2x2yx)yx(2)yx(评注：整体思想是一种重要的数学思想，解题时应注意这种思想的应用。3.代数式的求值和求代数式的值有关的题目主要分两类：一是直接代入求值，这类问题比较简单，常以选择或填空题的形式出现；二是先化简，后求值.这类问题比较常见。例5.先化简，再计算：（3a2－ab+7）－（5ab－4a2+7），其中a=2，b=31分析：本题主要考查去括号及合并同类项.解决问题的基本步骤是先去括号，后合并同类项.去括号时，应注意去括号法则的应用。解：（3a2－ab+7）－（5ab－4a2+7）=3a2－ab+7－5ab+4a2－7=7a2－6ab当a=2，b=31时，原式=28－4=24.评注：化简求值，一定要保证化简的正确性，否则，代入求值做的就是无用功了。4.探索规律探索规律型问题是考试的一个重点，常见的探索规律型问题与图案中的规律探索有关.解决规律探索问题，一般可采用归纳猜想的方法求解，然后进行特殊验证。例6.如图2，用灰白两色正方形