搜索
1/10立体几何-平行与垂直练习题1.空间四边形SABC中，SO平面ABC，O为ABC的垂心，求证：（1）AB平面SOC（2）平面SOC平面SABOSDCBA2.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，M分别为BB1，A1C的中点，求证：（1）EM平面AA1C1C;（2）平面A1EC平面AA1C1C；EMA1B1C1ABC3.如图,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,G为AC与BD的交点.(1)求证:AE⊥平面BCE.(2)求证:AE∥平面BFD.4.设P,Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D,面A1B1C1D1的中心,如图,（1）证明PQ∥平面AA1B1B；（2）求线段PQ的长.2/105.如图,在四棱锥P-ABCD中，PDABCD面，//ABDC，ABAD，5BC，3DC，4AD，60PAD．（Ⅰ）当主视图方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥PABCD的三视图.(要求标出尺寸);（Ⅱ）若M为PA的中点，求证：DM//面PBC．6.已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.求证：（1）直线MF∥平面ABCD；（2）平面AFC1⊥平面ACC1A1.7.如图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）若二面角P-DC-A=45°，求证：MN⊥平面PDC.8.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)求证：MN⊥平面A1B1C；(3)求三棱锥M－A1B1C的体积．3/109.如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，且AB=2，SC=SD=2.求证：平面SAD⊥平面SBC.10.如图所示，在直．三棱柱．．．ABC-A1B1C1中，AC⊥BC．(1)求证：平面AB1C1⊥平面AC1；(2)若AB1⊥A1C，求线段AC与AA1长度之比；(3)若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．11.如图，把等腰Rt△ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD＝AC,（1）求证：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角C-BD-A的余弦值.12.如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.（1）求证：EN∥平面PCD；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN；（3）求平A1ABCD1B1C4/10面PAB与平面ABCD所成二面角的正切值.13．如图,AB为⊙O直径,C为⊙O上一点,PA⊥平面ABC,A在PB,PC上的射影分别为E,F,求证:PB⊥平面AFE.14．在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AB⊥BC,AB=BC=1,DC=2,点E在PB上.(1)求证:平面AEC⊥平面PAD.(2)当PD∥平面AEC时,求PE∶EB的值.15.如图，已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=12AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，D，S分别为PB，AB，BC的中点．(1)求证：PA∥平面CDM；(2)求证：SN⊥平面CDM.16.一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点．(1)求证：CM⊥平面FDM；(2)在线段AD上(含A，D端点)确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．5/101．（2014•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．2．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．3．（2014•湖北）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°．6/104．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．5．（2014•黄山一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积．6．（2014•南海区模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；（Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．7/107．（2014•天津模拟）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．（1）求证：B1B∥平面D1AC；（2）求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1．8．（2013•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．9．（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．8/1010．（2013•浙江）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．11．（2013•湖南）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（1）证明：AD⊥C1E；（2）当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积．12．（2012•山东）如图，几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．9/1013．（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．14．（2011•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．15．（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．10/1016．（2010•深圳模拟）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．17．（2010•重庆）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．