定长对定角问题

定长对定角问题（2016·安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2C．D．【解析】∵∠PAB=∠PBC，∴∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90°∴∠P=90°保持不变，同时∠P所对边AB保持不变，所以点P在以AB为直径的圆上运动如下图，∴当点P在CO连线段上时，CP最短AO=OP=OB=3，CO=，∴CP最小值为5-3=2.故选B.如图，在边长为的等边△ABC中，AE=CD，连接BE、AD相交于点P，则CP的最小值为___________.【解析】由AE=CD，∠ACD=∠BAE=60°，AC=BC，可得△BAE≌△ACD，∴∠DAC=∠ABE，∵∠APB=∠DAC+∠BEA=∠ABE+∠BEA=180°-60°=120°，∴∠APB=120°保持不变，∠APB所对边AB也保持不变，所以点P在如图所示的圆上运动.∵∠APB=120°，∴∠AQB=60°，∴∠AOB=120°，OA=OB，∴∠OBA=30°，点O、C均在AB垂直平分线上，∴OC⊥AB，∴∠BOC=60°，∴∠OBC=90°，∵BC=2根号3，∴半径=OB=2，OC=4，∴最小值CP=OC—OP=4-2=2.（2013·宜兴模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为．【解析】如图，连接OI，PI，AI，∵I为△OPH内心，∴∠IOP=∠IOA，∠IPO=∠IPH，∴∠PIO=90°+∠PHO=90°+45°=135°，由OI=OI，∠IOP=∠IOA，OA=OP可知，△AOI≌△POI，∴∠AIO=∠PIO=135°，∴∠AIO保持不变，∠AIO所对边AO也保持不变，∴点I在如图所示的圆上运动。画出点P在点A与点B时I的位置，可知I的轨迹路径长为劣弧AO的弧长。∠AIO=135°，∴∠APO=45°，∴∠=90°，∴△为等腰直角三角形，由AO=2可得，半径==，∴弧长为等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．答案：（点H在以BC为直径的圆上）2、直线y＝x＋4分别与x轴、y轴相交与点M、N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交与点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是．答案：（点P在以MN为直径的圆上）（2013·武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_________.答案：（点H在以AB为直径的圆上）（2016·省锡中二模）如图，O的半径为2，弦AB=2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是（）A.1B.2C.D.答案：D（点C在以AB为弦的圆上）（2016·外国语模拟）如图，以正方形ABCD的边BC为一边向内部做一等腰△BCE，BE=BC，过E做EH⊥BC，点P是Rt△BEH的内心，连接AP，若AB=2，则AP的最小值为________.答案：π（点P在以BC为弦的圆上）（2013·江阴期中）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为________．答案：（点F在以AC为直径的圆上）（2015·南长区二模）如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(7，3)，点E在边AB上，且AE=1，已知点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F(0，)运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为________．答案：（点H在以OE为直径的圆上）