1.1正弦定理和余弦定理习题课

§1.1正弦定理和余弦定理习题课题型一正弦定理的应用(1)在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A、C和边c；（2）在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°.求边b和c；（3）在△ABC中，a，b，c分别是∠A,∠B,∠C的对边长，已知，且a2-c2=ac-bc，求∠A及的值.已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个数的判断.【例1】32cBbsin思维启迪题型分类深度剖析2acb题型二余弦定理的应用在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且（1）求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积.由利用余弦定理转化为边的关系求解.解（1）由余弦定理知：【例2】.2coscoscabCB13思维启迪,2coscoscabCB,2cos222acbcaB.2cos222abcbaC知能迁移2已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.解依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,.342tan12tan2tan.22tan:,2cos42cos2sin222CCCCCCC从而化简得所以题型三三角形形状的判定在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系.解方法一已知等式可化为a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA【例3】思维启迪知能迁移3在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形解析方法一因为在△ABC中，A+B+C=π，即C=π-（A+B），所以sinC=sin(A+B).由2sinAcosB=sinC,得2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.题型四正、余弦定理的综合应用(12分)在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a-c）cosB=bcosC.(1)求角B的大小；(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.(1)用正弦定理,将边用角代换后求解.(2)用余弦定理,配方出现a+b后代换,求出ac即可.解（1）在△ABC中，由正弦定理得：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入(2a-c)cosB=bcosC,【例4】思维启迪7知能迁移4（2008·辽宁理，17）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,（1）若△ABC的面积等于，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.解(1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4.又因为△ABC的面积等于，所以absinC=,所以ab=4..3C32133.2,2,4,422baababba解得联立方程组11.在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和求角A和tanB的值.解由b2+c2-bc=a2,得,321bc,212222bcacb.21tan,sincos21.sin3sin21sin21cos23,sin)321()32sin(,32,321sinsin,321.3,0,21cosBBBBBBBBBBBACBCbcAAA则整理得又又即12.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=，且(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积.解（1）∵A+B+C=180°,.272cos2sin42CBA,27)1cos2(2cos14,272cos2cos4,272cos2sin4222CCCCCBA得由7