2014届高三数学一轮：同角三角函数的基本关系与诱导公式

一、同角三角函数的基本关系式1．平方关系：．2．商数关系：.sin2α＋cos2α＝1(α∈R)tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z角函数2π－απ＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦余弦正切cotα－cotα二．六组诱导公式－sinα－cosα－tanα－sinα－cosαtanα－sinαcosα－tanαsinα－cosα－tanαcosαsinαcosα－sinα对于角“kπ2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．[小题能否全取]1．sin585°的值为()A．－22B.22C．－32D.32解析：sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22.答案：A2．(教材习题改编)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C.π6D.π3解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3.∵|θ|π2，∴θ＝π3.答案：D3．已知tanθ＝2，则sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝()A．2B．－2C．0D.23解析：原式＝cosθ＋cosθcosθ－sinθ＝21－tanθ＝21－2＝－2.答案：B4．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k2解析：∵cos(－80°)＝cos80°＝k，∴sin80°＝1－k2，∴tan80°＝1－k2k.而tan100°＝－tan80°＝－1－k2k.答案：B5．(2011·重庆高考)若cosα＝－35，且α∈π，3π2，则tanα＝________.解析：依题意得sinα＝－1－cos2α＝－45，tanα＝sinαcosα＝43.答案：43应用诱导公式时应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．[例1](1)(2012·江西高考)若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ＝()A.15B.14C.13D.12(2)已知sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α，则sinα－4cosα5sinα＋2cosα＝________.[自主解答](1)∵tanθ＋1tanθ＝4，∴sinθcosθ＋cosθsinθ＝4，∴sin2θ＋cos2θcosθsinθ＝4，即2sin2θ＝4，∴sin2θ＝12.(2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin3π2＋α得tanα＝2.原式＝tanα－45tanα＋2＝2－45×2＋2＝－16.[答案](1)D(2)－16法二：由已知得sinα＝2cosα.原式＝2cosα－4cosα5×2cosα＋2cosα＝－16.在(2)的条件下，sin2α＋sin2α＝________.解析：原式＝sin2α＋2sinαcosα＝sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝85.答案：851．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.1．(1)(2013·长沙模拟)若角α的终边落在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为()A．3B．－3C．1D．－1(2)(2012·厦门模拟)已知sin(3π－α)＝－2sinπ2＋α，则sinαcosα等于()A．－25B.25C.25或－25D．－15解析：(1)由角α的终边落在第三象限得sinα0，cosα0，故原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－1－2＝－3.(2)∵sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sinπ2＋α，∴sinα＝－2cosα，∴tanα＝－2，∴sinαcosα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝－25.答案：(1)B(2)A[例2](1)tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α＝________.(2)已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}[自主解答](1)原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos3π＋α[－sin3π＋α]＝tanαcosαsinπ2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(2)当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.[答案](1)－1(2)C利用诱导公式化简求值时的原则(1)“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．(2)“大化小”，利用k·360°＋α(k∈Z)的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数．(3)“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．(4)“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．2．(1)(2013·滨州模拟)sin600°＋tan240°的值等于()A．－32B.32C.3－12D.3＋12(2)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α，β，a，b均为非零实数，若f(2012)＝－1，则f(2013)等于________．解析：(1)sin600°＋tan240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin120°＋tan60°＝－32＋3＝32.答案：(1)B(2)1(2)由诱导公式知f(2012)＝asinα＋bcosβ＝－1，∴f(2013)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.[例3]在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．[自主解答]由已知得sinA＝2sinB，3cosA＝2cosB两式平方相加得2cos2A＝1，即cosA＝22或cosA＝－22.(1)当cosA＝22时，cosB＝32，又角A、B是三角形的内角，∴A＝π4，B＝π6，∴C＝π－(A＋B)＝7π12.(2)当cosA＝－22时，cosB＝－32，又角A、B是三角形的内角，∴A＝3π4，B＝5π6，不合题意．综上知，A＝π4，B＝π6，C＝7π12.1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A＋B＝π－C,2A＋2B＝2π－2C，A2＋B2＋C2＝π2等，于是可得sin(A＋B)＝sinC，cosA＋B2＝sinC2等；2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．(2)若cosπ2＋Asin32π＋Btan(C－π)0，求证：三角形ABC为钝角三角形．3．在三角形ABC中，(1)求证：cos2A＋B2＋cos2C2＝1；证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，则A＋B2＝π2－C2，所以cosA＋B2＝cosπ2－C2＝sinC2，故cos2A＋B2＋cos2C2＝1.(2)若cosπ2＋Asin32π＋Btan(C－π)0，则(－sinA)(－cosB)tanC0，即sinAcosBtanC0，∵在△ABC中，0Aπ，0Bπ，0Cπ，∴sinA0，cosB0，tanC0或tanC0，cosB0，∴B为钝角或C为钝角，故△ABC为钝角三角形．[典例]已知－π2x0，sinx＋cosx＝15，则sinx－cosx＝________.[常规解法]由sinx＋cosx＝15，与sin2x＋cos2x＝1联立方程组sinx＋cosx＝15，sin2x＋cos2x＝1，解得sinx＝45，cosx＝－35或sinx＝－35，cosx＝45，∵－π2x0，∴sinx＝－35，cosx＝45，∴sinx－cosx＝－75.[答案]－751．上述解法易理解掌握，但计算量较大，很容易出错．若利用sinα＋cosα，sinα·cosα，sinα－cosα三者之间的关系，即(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，问题迎刃而解．2．对所求式子进行恒等变形时，注意式子正、负号的讨论与确定．[巧思妙解]sinx＋cosx＝15，两边平方得，1＋sin2x＝125，∴sin2x＝－2425.∴(sinx－cosx)2＝1－sin2x＝4925，又∵－π2x0，∴sinx0，cosx0，∴sinx－cosx＝－75.已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两根，则a＝________.解析：由题意知，原方程判别式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.∵sinθ＋cosθ＝a，sinθcosθ＝a，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，∴a2－2a－1＝0，∴a＝1－2或a＝1＋2(舍去)．答案：1－2针对训练教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知sinπ4－α＝m，则cosπ4＋α等于()A．mB．－mC.1－m2D．－1－m2解析：∵sinπ4－α＝m，∴cosπ4＋α＝sinπ4－α＝m.答案：A解题训练要高效见“课时跟踪检测（十九）”2．(2012·九江调研)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝3－12，则tanθ的值为()A．－3或－33B．－33C．－3D．－32解析：法一：由sinθ＋cosθ＝3－12两边平方得sinθ·cosθ＝－34，由sinθ·cosθ＝sinθ·cosθsin2θ＋cos2θ＝tanθ1＋tan2θ＝－34，解得tanθ＝－3或tanθ＝－33，由于θ∈(0，π)，sinθcosθ0，sinθ＋cosθ0，∴θ∈π2，π，|sinθ||cosθ|.∴|tanθ|1.∴tanθ＝－33，舍去．故tanθ＝－3.法二：由sinθ＋cosθ＝3－12两边平方得2sinθcosθ＝－32，则(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1＋32＝1＋322.又由sinθcosθ0，θ∈(0，π)，得θ∈π2，π，所以sinθ－cosθ＝1＋32.解得sinθ＝32，cosθ＝－12，所以tanθ＝－3.答案：C3．已知sin(3π＋θ)＝13，求cosπ