2014届高三新课标理科数学一轮复习课件 第五章 第4讲 简单的线性规划

考纲要求考纲研读1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.二元一次不等式表示相应直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，可结合交集的概念去理解不等式组表示的平面区域．对于线性规划问题，能通过平移直线求目标函数的最值．对于实际问题，能转化成两个相关变量有关的不等式(组)，再利用线性规划知识求解.第4讲简单的线性规划1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值的符号相同，也就是说位于同一平面区域内的点，若其坐标适合Ax＋By＋C0，则位于另一个平面区域内的点，其坐标适合Ax＋By＋C0.(3)可在直线Ax＋By＋C＝0某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)[如原点(0,0)]，用Ax0＋By0＋C的值的正负来判断Ax＋By＋C0(或Ax＋By＋C0)所表示的区域．2．线性规划(1)线性约束条件：不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．(2)目标函数：z＝Ax＋By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，我们把它称为目标函数．(3)线性目标函数：由于z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．(4)可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，(5)可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域．(6)最优解：若可行解(x1，y1)和(x2，y2)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．(7)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．1．不等式组x－3y＋6≥0，x－y＋20表示的平面区域是()Bx＋y≥0，2．已知实数x，y满足x－y＋4≥0，x≤1，则2x＋y的最小值是()BA．－3B．－2C．0D．1x－y＋1≥0，3．若实数x，y满足x＋y≥0，x≤0，则z＝3x＋2y的最小值是()BA．0B．1C.D．932x＋y－6≤0，4．不等式组x＋y－3≥0，所表示的平面区域的面积为_.y≤25．若点(1,3)和点(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是_________________.－5＜m＜101考点1二元一次不等式(组)与平面区域例1：设集合A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()解题思路：由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来确定二元一次不等式组，然后求可行域．解析：由于x，y,1－x－y是三角形的三边长，答案：A故有x＋y＞1－x－y，x＋1－x－y＞y，y＋1－x－y＞x⇒x＋y＞12，x＜12，y＜12，再分别在同一坐标中作直线x＝12，y＝12，x＋y＝12，易知A正确．由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来确定二元一次不等式组，然后求可行域．本题以三角形、集合为载体来考查线性规划的问题，由于是选择题，只要找出正确的不等式组并作出相应的直线即可看出答案．【互动探究】x－y＋5≥0，1．若不等式组y≥a，0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()CA．a＜5C．5≤a＜7B．a≥7D．a＜5或a≥7x＋y－11≥0，2．(2010年北京)设不等式组3x－y＋3≥0，表示的平面区5x－3y＋9≤0域为D，若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取)A值范围是(A．(1,3]C．(1,2]B．[2,3]D．[3，＋∞)考点2线性规划中求目标函数的最值问题则z＝2x＋3y的最小值为()A．17B．14C．5D．3解析：作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线z＝2x＋3y过直线x＝1与x－3y＝－2的交点(1,1)时取得最小值，所以最小值为5.例2：①(2011年全国)若变量x，y满足约束条件x＋y≤6，x－3y≤－2，x≥1，C②(2011年广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组0≤x≤2，y≤2，x≤2y给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OMOA的最大值为()A．3B．4C．32D．42答案：B线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域(即几条直线围成的区域)，则区域端点的值使目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最值．图D8解析：z＝2x＋y，即y＝－2x＋z，画出不等式组表示的平面区域如图D8，易知当直线y＝－2x＋z经过点(2，2)时，z取得最大值，zmax＝2×2＋2＝4.【互动探究】3．(2011年陕西)如图5－4－1，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为____.1图5－4－1解析：目标函数z＝2x－y，当x＝0时，z＝－y，所以当y取得最大值时，z的值最小；移动直线2x－y＝0，当直线移动到过点A时，y最大，即z的值最小，此时z＝2×1－1＝1.考点3线性规划在实际问题中的应用例3：某家具厂有方木料90m，五合板600m，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产一张书桌需要方木料0.1m，五合板2m，生产一个书橱需要方木料0.2m，五合板1m，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？如何安排生产可使所得利润最大？解题思路：找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解．解析：(1)设只生产书桌x张，可获利润z元，所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24000(元)．即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，可获利润24000元．则0.1x≤90，2x≤600，z＝80x⇒x≤900，x≤300⇒x≤300.(2)设只生产书橱y张，可获利润z元．所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54000(元)．即如果只安排生产书橱，最多可生产450张书橱，可获利润54000元．则0.2y≤90，1·y≤600，z＝120x⇒y≤450，y≤600⇒y≤450.(3)设生产书桌x张，生产书橱y张，可获总利润z元，z＝80x＋120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图5－4－2.作直线l：80x＋120y＝0，即直线2x＋3y＝0.图5－4－2则0.1x＋0.2y≤90，2x＋y≤600，x≥0，y≥0⇒x＋2y≤900，2x＋y≤600，x≥0，y≥0.把直线l向右上方平移到l的位置，直线l经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．由x＋2y＝900，2x＋y＝600解得点M的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，zmax＝80×100＋120×400＝56000(元)．因此安排生产400个书橱，100张书桌，可获利润最大为56000元．根据已知条件写出不等式组是做题的第一步；第二步画出可行域；第三步找出最优解．【互动探究】4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是()A．12万元C．25万元B．20万元D．27万元大，故本题即已知约束条件解析：设甲、乙种两种产品各需生产x，y吨，可使利润z最3x＋y≤13，2x＋3y≤18，x≥0，y≥0，求目标函数z＝5x＋3y的最大值，如图D9，可求出最优解为x＝3，y＝4.故zmax＝15＋12＝27.图D9答案：D则—的取思想与方法10．用数形结合的思想求非线性目标函数的最值yxx－y＋2≤0，例题：已知变量x，y满足约束条件x≥1，x＋y－7≤0，值范围是________．图5－4－3解析：由x＋y－7＝0，x－y＋2＝0得A52，92.∴kOA＝92÷52＝95.由x＋y－7＝0，x＝1得B(1,6)．∴kOB＝61＝6.∵yx表示过可行域内一点(x，y)及原点的直线的斜率，∴由约束条件画出可行域(如图5－4－3)，则yx的取值范围为[kOA，kOB]，即95，6.答案：95，6【失误与防范】用线性规划求最值时，要充分理解目标函数的几何意义，只有把握好这一点，才能准确求解，而常见的非线性目标函数的几何意义有：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；②x－a2＋y－b2表示点(x，y)与原点(a，b)的距离；③yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率值；④y－bx－a表示点(x，y)与原点(a，b)连线的斜率值．1．利用线性规划研究实际问题的基本步骤是：(1)应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．(2)用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解．(3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．2．求目标函数的最优整数解常有两种处理方法：(1)通过打出网格求整点，关键是作图要准确．(2)首先确定区域内点的横坐标范围，确定x的所有整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的所有相应整数值，即先固定x，再用x制约y.3．非线性规划问题，是指目标函数和约束函数中至少有一个是非线性函数．对于这类问题的考查往住以求非线性目标函数最值的方式出现．4．线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界上取得．1．在画不等式表示的平面区域时，一定要注意直线的虚实．当不等号是“≥”或“≤”，则边界线要画成实线；当不等号是“”或“”，则边界线要画成虚线．2．求线性目标函数z＝ax＋by的最值时，一定不要把z的最值与直线在y轴上的截距的最值的关系混淆，它们有时一致，有时相反，与b的正负有关．3．对于实际问题要找足线性约束条件，若忽视某一条件，会扩大可行域．如果可行域是一个多边形，那么一般目标函数在某顶点处取得最值，最优解一般一个．特别地，当表示目标函数的直线与可行域的某边平行时，其最优解可能有无数个．对于实际问题(如整点问题)，要特别对待．