2016届高考数学(理)二轮必考考点课件：专题7 数学思想方法的培养-分类讨论思想

专题复习·数学（理）专题七概率与统计数学思想方法的培养——分类讨论思想专题复习·数学角度一由数学概念引起的分类讨论角度二由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论角度三由数学运算要求引起的分类讨论角度角度四由图形的不定性引起的分类讨论角度五由参数变化引起的分类讨论角度六由实际意义引起的分类讨论1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．4．解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结，将各类情况总结归纳．角度一由数学概念引起的分类讨论[例1](2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2x－1－2，x≤1，－log2x＋1，x1，且f(a)＝－3，则f(6－a)＝()A．－74B．－54C．－34D．－14角度一由数学概念引起的分类讨论分类讨论处理条件f(a)＝－3，解得a，然后代入函数解析式计算f(6－a)．由于f(a)＝－3，①若a≤1，则2a－1－2＝－3，整理得2a－1＝－1.(确定分类标准1)由于2x＞0，所以2a－1＝－1无解；(分类处理问题1)②若a＞1，则－log2(a＋1)＝－3，(确定分类标准2)解得a＋1＝8，a＝7，(分类处理问题2)所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f(6－a)＝－74.故选A.(汇总问题)A角度一由数学概念引起的分类讨论本题是根据分段函数的概念，以分段函数的分段条件为标准讨论.角度二由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论[例2]设等比数列{an}公比为q，前n项和Sn0(n＝1,2,3…)，则q的取值范围是__________．(1)因为{an}是等比数列，Sn0，可得a1＝S10，q≠0.(确定需分类的目标与对象)当q＝1时，(确立分类标准1)Sn＝na10；(分类处理问题1)当q≠1时，(确立分类标准2)角度二由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论Sn＝a11－qn1－q0，(分类处理问题2)即1－qn1－q0(n＝1,2,3，…)，则有1－q0，1－qn0①或1－q0，1－qn0.②由①，得－1q1，由②，得q1.故q的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(汇总问题)角度二由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论对于等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝a11－qn1－q.角度三由数学运算要求引起的分类讨论[例3](2015·高考山东卷)不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是()A．(－∞，4)B．(－∞，1)C．(1,4)D．(1,5)利用零点分区间法解绝对值不等式．①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)＜2，∴－4＜2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1＜x＜5时，原不等式可化为x－1－(5－x)＜2，∴x＜4，∴1＜x＜4.③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)＜2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A.A角度三由数学运算要求引起的分类讨论根据绝对值的运算，要分类讨论绝对值号里面的式子的正负.角度四由图形的不定性引起的分类讨论[例4]在约束条件x≥0，y≥0，y＋x≤s，y＋2x≤4下，当3≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是()A．[6,15]B．[7,15]C．[6,8]D．[7,8]由x＋y＝s，y＋2x＝4⇒x＝4－s，y＝2s－4，取点A(2,0)，B(4－s,2s－4)，C(0，s)，C′(0,4)．(确定需分类目标与对象的基本特征)角度四由图形的不定性引起的分类讨论(1)当3≤s4时，(确立分类标准1)可行域是四边形OABC，如图所示．此时，7≤z≤8.(分类处理问题1)(2)当4≤s≤5时，(确立分类标准2)此时可行域是△OAC′，如图所示．zmax＝8.(分类处理问题2)综上，z＝3x＋2y最大值的变化范围是[7,8]．故选D.D(汇总问题)角度四由图形的不定性引起的分类讨论由于x＋y＝s的直线位置可以平移，形成了不同的图形三角形或四边形，故讨论直线的位置.角度五由参数变化引起的分类讨论[例5](2015·高考四川卷)如果函数f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间12，2上单调递减，那么mn的最大值为()A．16B．18C．25D.812首先根据函数的单调性建立关于m，n的不等式，然后运用基本不等式求最值．①当m＝2时，∵f(x)在12，2上单调递减，∴0≤n8，mn＝2n16.角度五由参数变化引起的分类讨论②当m≠2时，函数f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)的对称轴方程为x＝－n－8m－2.a．当m2时，抛物线开口向上，∵f(x)在12，2上单调递减，∴－n－8m－2≥2，即2m＋n≤12.又2m＋n≥22mn，∴22mn≤12，∴mn≤18.当2m＝n＝6，即m＝3，n＝6时取等号，∴mn的最大值为18.b．当m2时，抛物线开口向下，∵f(x)在12，2上单调递减，∴－n－8m－2≤12，即m＋2n≤18，即n≤9－12m.角度五由参数变化引起的分类讨论又∵0≤m2，n≥0，∴mn≤9m－12m2＝－12(m－9)2＋812－12(2－9)2＋812＝16.综上所述，mn的最大值为18，故选B.B角度五由参数变化引起的分类讨论因参数m的不同取值，函数fx及mn的最值有不同的形式和结果，故根据抛物线的形式分类讨论.角度六由实际意义引起的分类讨论[例6](2015·高考天津卷)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．角度六由实际意义引起的分类讨论(1)由已知，有P(A)＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以，事件A发生的概率为635.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝Ck5C4－k3C48(k＝1,2,3,4)．所以，随机变量X的分布列为X1234P1143737114随机变量X的数学期望E(X)＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.角度六由实际意义引起的分类讨论根据随机变量x的实际意义：种子选手的人数进行分类分别计算概率.