2016届高考数学一轮复习课件：第3章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数(新人教A版)(山东

第三章三角函数第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数课堂限时检测挖掘１大技法抓住３个基础知识点掌握３个核心考向[考情展望]1.利用三角函数的定义求三角函数值.2.考查三角函数值符号的确定．一、角的有关概念1．从运动的角度看，角可分为正角、______和______．2．从终边位置来看，可分为________与轴线角．3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α(k∈Z)．二、弧度与角度的互化1．1弧度的角长度等于_________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．负角零角象限角半径长2．角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.3．角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝180π°.4．弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝____，扇形的面积为S＝12lr＝12r2α.rα角度制与弧度制不可混用角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．三、任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝____，cosα＝____，tanα＝yx.2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在_______上，余弦线的起点都是______，正切线的起点都是(1,0)．yxx轴原点三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①中－3π4是第三象限角，故①错误．②中，4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．【答案】C2．已知角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝()A.55B.255C．－55D．－255【解析】由三角函数的定义可知，sinα＝2－12＋22＝255.【答案】B3．若sinα＜0且tanα＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】由sinα＜0，得α在第三、四象限或y轴非正半轴上，又tanα＞0，∴α在第三象限．【答案】C【解析】∵l＝3π，α＝135°＝3π4，∴r＝lα＝4，S＝12lr＝12×3π×4＝6π.4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．【答案】46π5．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sinxB．y＝lnxxC．y＝xexD．y＝sinxx【解析】函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sinx≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x0，故B不对；选项C中，x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.【答案】D6．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－255，则y＝________.【解析】由三角函数的定义，sinθ＝y16＋y2，又sinθ＝－255＜0，∴y＜0且y16＋y2＝－255，解之得y＝－8.【答案】－8考向一[047]角的集合表示及象限角的判定(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；(2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思路点拨】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．(2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．【尝试解答】(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为αα＝2kπ＋π3，k∈Z，当角的终边在第三象限时，角的集合为αα＝2kπ＋43π，k∈Z，故所求角的集合为αα＝2kπ＋π3，k∈Z∪αα＝2kπ＋43π，k∈Z＝αα＝kπ＋π3，k∈Z.(2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋32π(k∈Z)，∴kπ＋π2＜α2＜kπ＋34π(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π2＜α2＜2nπ＋34π，α2是第二象限角，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋3π2＜α2＜2nπ＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．规律方法11.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α0≤α＜2πk∈Z的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.2.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.对点训练若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限【解析】当k＝2n(n∈Z)时，α＝n·360°＋45°，所以α在第一象限．当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝n·360°＋225°，所以α在第三象限．综上可知，α在第一或第三象限．【答案】A考向二[048]扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．【思路点拨】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；(3)利用S弓＝S扇－S△，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．【尝试解答】(1)l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得：l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2rad.(3)设弓形面积为S弓．由题知l＝2π3cm，S弓＝S扇－S△＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝2π3－3(cm2)．规律方法21.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.2.本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法.3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形.对点训练已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10，∴△AOB为等边三角形．因此弦AB所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l＝α·R＝π3×10＝103π，S扇形＝12R·l＝12α·R2＝50π3.又S△AOB＝12·OA·OB·sinπ3＝253.∴弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝50π3－32.考向三[049]三角函数的定义(1)已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－45，则m等于()A．－114B.114C．－4D．4(2)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．【思路点拨】(1)求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解．(2)在直线上设一点P(4t，－3t)，求出点P到原点O的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P可在不同的象限内，所以需分类讨论．【尝试解答】(1)点P到原点O距离|OP|＝m2＋9，∴cosα＝mm2＋9＝－45，∴m2＝16m＜0，∴m＝－4.【答案】C(2)在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，∴r＝|PO|＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，当t＞0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t＜0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，当t＞0时，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.当t＜0时，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.规律方法3定义法求三角函数值的两种情况1已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.2已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值.对点训练设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，5)，且cosα＝24x，求4sinα－3tanα的值．【解】∵r＝x2＋5，∴cosα＝xx2＋5，从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝±3.∵90°＜α＜180°，∴x＜0，因此x＝－3.则r＝22，∴sinα＝522＝104，tanα＝5－3＝－153.故4sinα－3tanα＝10＋15.易错易误之六|a|≠a——三角函数定义求值中引发的分类讨论————[1个示范例]————[1个防错练]————(2014·临沂模拟)已知角θ的终边上一点p(3a,4a)(a≠0)，则sinθ＝________.【解析】∵x＝3a，y＝4a，∴r＝3a2＋4a2＝5|a|.此处在求解时，常犯r＝5a的错误，出错的原因在于去绝对值时，没有对a进行讨论.(1)当a＞0时，r＝5a，∴sinθ＝y5＝45.(2)当a＜0时，r＝－5a，∴sinθ＝y5＝－45∴sinθ＝±45.【防范措施】1.对于\r(a2)＝|a|，在去掉绝对值号后，应分a≥0和a＜0两种情况讨论.2.已知角α终边上任意一点px，y，求三角函数值时，应用sinα＝yx2＋y2，cosα＝xx2＋y2，tanα＝yx求解.【解析】在角α的终边上任取一点P(t,2t)(t≠0)，则r＝|OP|＝t2＋4t2＝5|t|(1)若t＞0，则sinα＝2t5t＝255，cosα＝t5t＝55，sinα＋cosα＝355.已知角α的终边落在直线y＝2x上，则sinα＋cosα＝________.(2)若t＜0，则sinα＝－2t5t＝－255，cosα＝－t5t＝－55，sinα＋cosα＝－355.综上所述，sinα＋cosα＝±355.【答案】±355