2016届高考数学一轮复习课件：第5章 第1节 数列的概念与简单表示法(新人教A版)(山东专用)

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法课堂限时检测挖掘１大技法抓住４个基础知识点掌握３个核心考向[考情展望]1.以数列的前n项为背景写数列的通项.2.考查由数列的通项公式或递推关系求数列的某一项.3.考查已知数列的递推关系或前n项和Sn求通项an.一、数列的有关概念概念含义数列按照___________排列的一列数数列的项数列中的_________数列的通项数列{an}的第n项an叫做数列的通项通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式_________表达，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝____________________叫做数列的前n项和一定顺序每一个数an＝f(n)Sn＝a1＋a2＋…＋an二、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数______无穷数列项数______项与项间的大小关系递增数列an＋1___an其中n∈N*递减数列an＋1___an常数列an＋1＝an有限无限判断数列递增(减)的方法(1)作差比较法：①若an＋1－an＞0，则数列{an}为递增数列．②若an＋1－an＝0，则数列{an}为常数列．③若an＋1－an＜0，则数列{an}为递减数列．(2)作商比较法：不妨设an＞0.①若an＋1an＞1，则数列{an}为递增数列．②若an＋1an＝1，则数列{an}为常数列．③若an＋1an＜1，则数列{an}为递减数列．三、数列的表示方法数列有三种表示方法，它们分别是_______、______和解析法．四、an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.已知Sn求an的注意点利用an＝Sn－Sn－1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n＝1致误，当n＝1时，a1若适合通项，则n＝1的情况应并入n≥2时的通项；否则an应利用分段函数的形式表示．列表法图象法1．已知数列{an}的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项是()A．an＝1＋(－1)n＋1B．an＝2sinnπ2C．an＝1－cosnπD．an＝2，n为奇数0，n为偶数【解析】根据数列的前3项验证．【答案】B2．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()A．30B．31C．32D．33【解析】a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31.【答案】B3．已知数列{an}的通项公式为an＝nn＋1，则这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列【解析】∵an＝nn＋1＞0，∴an＋1an＝n＋12nn＋2＝n2＋2n＋1n2＋2n＞1.∴{an}为递增数列．【答案】A【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1.∴an＝2n＝1，2n－1n≥2.4．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.【答案】2n＝12n－1n≥25．(2011·浙江高考)若数列nn＋423n中的最大项是第k项，则k＝________.【解析】由题意可知ak≥ak＋1，ak≥ak－1，即kk＋423k≥k＋1k＋1＋423k＋1kk＋423k≥k－1k－1＋423k－1化简得k2≥10k－12≤10，解得10≤k≤1＋10.又k∈N*，所以k＝4.【答案】46．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.【解析】当n＝1时，S1＝23a1＋13，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an＋13－23an－1＋13＝23(an－an－1)，∴an＝－2an－1，即anan－1＝－2，∴{an}是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴an＝1×(－2)n－1，即an＝(－2)n－1.【答案】(－2)n－1考向一[083]由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….【思路点拨】归纳通项公式应从以下四个方面着手：(1)观察项与项之间的关系；(2)符号与绝对值分别考虑；(3)规律不明显，适当变形．【尝试解答】(1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)数列变为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝891－110n.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n·2n－32n.规律方法11.求数列的通项时，要抓住以下几个特征.,1分式中分子、分母的特征；2相邻项的变化特征；3拆项后的特征；4各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想.2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用－1n或－1n＋1来调整.考向二[084]由递推关系求通项公式根据下列条件，求数列的通项公式an.(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)在数列{an}中，an＋1＝n＋2nan，a1＝4；(3)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1.【思路点拨】(1)求an＋1－an，利用累加法求解．(2)求an＋1an，利用累乘法求解．(3)利用(an＋1＋1)＝2(an＋1)构造等比数列求解．【尝试解答】(1)由an＋1－an＝2n，把n＝1,2,3，…，n－1(n≥2)代入，得(n－1)个式子，累加即可得(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋22＋23＋…＋2n－1，所以an－a1＝21－2n－11－2，即an－a1＝2n－2，所以an＝2n－2＋a1＝2n－1.当n＝1时，a1＝1也符合，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由递推关系an＋1＝n＋2nan，a1＝4，有an＋1an＝n＋2n，于是有a2a1＝3，a3a2＝42，a4a3＝53，…，an－1an－2＝nn－2，anan－1＝n＋1n－1，将这(n－1)个式子累乘，得ana1＝nn＋12.所以当n≥2时，an＝nn＋12a1＝2n(n＋1)．当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)．(3)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列．所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1，所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．规律方法2递推式的类型递推式方法示例an＋1＝an＋f(n)叠加法a1＝1，an＋1＝an＋2nan＋1an＝f(n)叠乘法a1＝1，an＋1an＝2nan＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)化为等比数列a1＝1，an＋1＝2an＋1an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)化为等差数列a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1考向三[085]由an与Sn的关系求通项an已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.(b为常数)【思路点拨】先分n＝1和n≥2两类分别求{an}，再验证a1是否满足an(n≥2)．【尝试解答】(1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.规律方法3已知Sn求an时的三个注意点,1重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.2由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”.3由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示“分写”，即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.对点训练若Sn满足的条件变为如下形式，则又如何求an?(1)Sn＝n2＋n＋1；(2)log2(2＋Sn)＝n＋1.【解】(1)①当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n＋1)－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n；②当n＝1时，a1＝S1＝3≠2×1，故a1＝3不满足an＝2n.∴an＝3n＝1，2nn≥2.(2)∵log2(2＋Sn)＝n＋1，∴2＋Sn＝2n＋1，即Sn＝2n＋1－2，①当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n，②当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2＝21，故a1＝2满足an＝2n.∴an＝2n.易错易误之十明确数列中项的特征，慎用函数思想解题———[1个示范例]————[1个防错练]————(2014·安阳模拟)已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，3)C．(－∞，2)D．(－∞，3]【解析】∵an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，∴an＋1－an＞0对∀n∈N*都成立，此处在求解时，常犯“an是关于n的二次函数，若{an}单调递增，则必有\f(k,2)≤1，k≤2”的错误.,出错的原因是忽视了数列作为函数的特殊性即自变量是正整数.又an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，所以由2n＋1－k＞0，即k＜2n＋1恒成立可知k＜(2n＋1)min＝3.【防范措施】1.明确函数单调性与数列单调性的关系,1若数列所对应的函数是单调的，则该数列一定单调.2若数列是单调的，其对应的函数未必单调，原因是数列是定义在n∈N*上的特殊函数.2.数列单调性的判断,一般通过比较an＋1与an的大小来判断：,若an＋1＞an，则该数列为递增数列；若an＋1＜an，则该数列为递减数列.(2014·济南模拟)已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．【解析】法一(定义法)因为{an}是递增数列，故对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1)．(*)因为n≥1，故－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.法二(函数法)设f(n)＝an＝n2＋λn，其对称轴为n＝－λ2，要使数列{an}为递增数列，只需满足n＝－λ2＜32即可，即λ＞－3.【答案】(－3，＋∞)