《探索三角形全等的条件》SAS

知识回顾：三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。用数学语言表述：在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SSS）AB=DE（已知）BC=EF（已知）CA=FD（已知）三角形全等的判定条件ABCDEF三角形全等的判定公理2：几何语言：在ΔABC和ΔDEF中∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F∴ΔABC≌ΔDEF（ASA）ABCDEFABCDEF三角形全等的判定公理3：几何语言：在ΔABC和ΔDEF中∠B=∠E，∠C=∠FAC=DF∴ΔABC≌ΔDEF（AAs）思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能的情况呢？ABC图一“两边和其中一边的对角”“两边和其夹角”。ABC图二作三角形,两边为15cm、10cm，夹角为450并剪下,于同桌进行比较探究1：两边及其夹角画法：1、画∠MAN=45°；2、在射线AM上截取AC=15cm；3、在射线AN上截取AB=10cm；4、连结BC。△ABC为所作三角形。发现：如果两个三角形有＿＿＿及其＿＿＿对应相等，那么这两个三角形全等。与同桌比较，能完全重合吗？两边夹角是否只能是两边及其夹角呢？两边及一边对角行吗？1、画∠MAN=45°；2、在射线AM上截取AC=30cm；3、以点C为圆心，24cm长为半径画圆，与AN交于点B4、△ABC为所作三角形探究2：两边及一边的对角作三角形,两边为30cm、24cm,24cm边对角为450ABCDEF45°45°结论：两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等探究2：如果两边及其一边所对的角相等三角形全等判定条件（2）SAS用符号语言表达为：在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）AB=DE（已知）∠B=∠E（已知）BC=EF（已知）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“边角边”或“SAS”ABCDEF（SAS）EFDBCA数学语言表达在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠EBC=EF\△ABC≌△DEF分别找出各题中的全等三角形，并说明理由。ABC40°DEF(1)△ABC≌△EFD根据“SAS”△ADC≌△CBA根据“SAS”DCAB(2)已知：如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD问：△ABD和△CBD全等吗？例1ABCD已知：如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD问：AD=CD吗？例1ABCD？？？？？？已知：如图，AB=CB，∠ABD=∠CBD问：BD平分∠ADC吗？例1ABCD归纳：判定两条线段相等或两个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。？？ABCDO已知：如图AC与BD相交于点O,O是AC、BD中点,AB与DC平行么？例3如图线段AB是一个池塘的长度，现在想测量这个池塘的长度，在水上测量不方便，你有什么好的方法较方便地把池塘的长度测量出来吗？想想看。小明的设计方案：先在池塘旁取一个能直接到达A和B处的点C，连结AC并延长至D点，使AC=DC，连结BC并延长至E点，使BC=EC，连结CD，用米尺测出DE的长，这个长度就等于A，B两点的距离。请你说明理由。AC=DC∠ACB=∠DCEBC=EC△ACB≌△DCE(SAS)AB=DEECBAD小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH,ED=FD，小明不用测量就能知道EH=FH吗？DEFH小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH,ED=FD，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？EFDHEDFDEDHFDHDHDHEHFH在△HED和△HFD中，△HED≌△HFD（SAS）1.已知：如图，AD∥BC，AD=CB，求证：DC=BA.AD=CB（已知）∠1=∠2（已知）AC=CA（公共边）∴△ADC≌△CBA（SAS）.【证明】∵AD∥BC,∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）.在△DAC和△BCA中,DC1A2B∴DC=BA104页，1104页，2已知：如图AC=BD,M、N分别是AC、BC的中点，DM=DN吗？说明理由.思考题：AMNBD课堂小结：你这堂课学到了什么？1、“边角边（ＳＡＳ）”2、角相等或线段相等的问题一般可以通过全等得到解决。BCDEA如图，已知AB＝AC，AD＝AE。那么∠B与∠C相等吗？为什么？解：相等理由：在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠B＝∠C＝＝＝AEADAAACABBCDEA如图，已知AB＝AC，AD＝AE。求证：∠B＝∠CCEABAD证明：在△ABD和△ACE中（已知）＝（公共角）＝（已知）＝AEADAAACAB∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）例：如图，已知△ABC中，BE和CD分别为∠B和∠C的平分线，且BD=CE，∠1=∠2.求证：BE=CDABCED12法一、法二ABCED12证明：∵∠DBC=2∠1，∠ECB=2∠2（角平分线的定义）∠1=∠2∴∠DBC=∠ECB∵在△DBC和△ECB中BD=CE∠DBC=∠ECBBC=CB（公共边）∴△DBC≌△ECB（SAS）∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）3.如图，点A,E,B,D在同一条直线上，AE=DB，AC=DF，AC∥DF.请探索BC与EF有怎样的关系？并说明理由.F_E_B_A_CD关系包括：数量关系、位置关系DF=AC(已知）∠D=∠A（已证）DE=AB（已证）∴△EFD≌△BCA（SAS）.解：EF=BCEF‖BC∵AC∥DF∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）又∵AE=DB∴AE+BE=DB+BE,即AB=DE.在△EFD和△BCA中∴EF=BC（）∠DEF=∠ABC（全等三角形的对应角相等）∴EF‖BC(内错角相等，两直线平行)全等三角形的对应边相等_E_B_A_CD例：已知，如图AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.请判断线段CE与BD有什么关系？并证明你的猜想.ACEBD21答：CE=BDFEDCBA如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC，那么△ABC与△FED全等吗？为什么？解：全等。∵BD=EC（已知）∴BD－CD＝EC－CD。即BC＝EDABEFBCBCED＝（已知）＝（已知）＝（已证）在△ABC与△FED中∴△ABC≌△FED（SAS）AC∥FD吗？为什么？∴∠1＝∠2（）∴∠3＝∠4（）∴AC∥FD（内错角相等，两直线平行4321补充练习：DCBA在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线。那么BD与CD相等吗？为什么？解：相等理由：∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD＝∠CAD∵AB＝AC∠BAD＝∠CADAD＝AD∴△ABD≌△ACD（SAS）∴BD＝CDEDCBA如图所示，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在CD上，试说明AB，AC，BD之间的数量关系.已知△ABC是正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q，就下面给出的三种情况（图1，图2，图3），先用量角器分别测量∠BQM的大小，然后猜测∠BQM等于多少度？并利用图3说明你的结论是正确的.ABCMNQABCMNQQNMCBAABCMNQ