3-4~5 系统性能指标和时域分析

第三章线性系统的时域分析法黄昌琴编制[e-mail]22020/7/12第三章线性系统的时域分析法§3-1系统的性能指标§3-2一阶系统的时域分析§3-3二阶系统的时域分析§3-4高阶系统的时域分析§3-5线性系统的稳定性分析§3-6线性系统的稳态误差计算32020/7/12本节要点了解高阶系统的阶跃响应。掌握高阶系统的闭环主导极点。掌握稳定的概念、定义和条件，劳斯稳定性判据的概念及计算方法。教学目标与学习向导◎对于高阶系统的分析是比较复杂的。在这一讲中，我们的目标不在于研究高阶系统的过渡过程本身，而在于通过对三阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程的讨论，引出闭环主导极点这一重要概念。以便将高阶系统在一定的条件下转为具有一对闭环主导极点的二阶系统进行分析研究。◎熟练掌握劳斯判据的计算公式。42020/7/123—4高阶系统的时域分析1．高阶系统的单位阶跃响应2．高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析52020/7/12在控制工程中，几乎所有的控制系统都是高阶系统，即用高阶微分方程描述的系统。对于不能用一、二阶系统近似的高阶系统，其动态性能指标的确定是比较复杂的。工程上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析。可应用MATLAB软件包进行高阶系统分析。62020/7/121．高阶系统的单位阶跃响应闭环传递函数为72020/7/12（1）三阶系统的闭环零、极点对系统单位阶跃响应的影响例3—5设三阶系统闭环传递函数为试确定其单位阶跃响应。解：将已知的Φ(s)进行因式分解，可得由于R(s)=1/s，所以82020/7/12其部分分式为可以求出：对部分分式进行拉氏反变换，设初始条件全部为零，得高阶系统单位阶跃响应ttcteet41()12102cos(352)492020/7/12三阶系统的响应包含了：稳态响应分量（第一项）和动态响应分量（第二项的单调衰减项，第三项的振荡衰减项）。单位阶跃响应曲线如图3－26中实线所示。ttcteet41()12102cos(352)4102020/7/12若改变例3—5的闭环传递函数，使一闭环极点靠近虚轴，即令增益因子变成0.625的改变是为了保持Φ(0)不变。若改变例3－5闭环传递函数的零点位置，使零点靠近虚轴，即令极点靠近虚轴ssssss20.625(2)(3)()(0.5)(22)ssssss25(2)(3)()(4)(22)零点靠近虚轴ssssss210(1)(3)()(4)(22)ssssss25(2)(3)()(4)(22)112020/7/12极点靠近虚轴后的响应零点靠近虚轴后的响应改变了响应的形状改变了响应的类型和形状122020/7/12显然，对于稳定的高阶系统，闭环极点负实部的绝对值越大，其对应的响应分量衰减得越迅速；反之，则衰减缓慢。系统时间响应的类型（如衰减振荡、单调变化）取决于闭环极点的性质和大小，系统时间响应的形状与闭环零点有关。132020/7/12222()()()()(2)nnnpCssRsspss三阶系统的闭环传递函数：三阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为：2221()()()=()(2)nnnpCssRsspsss①三阶系统闭环极点对过渡过程的影响当0ζ1时，上式可展开为：nnnnnnnaasaCssspsspaaa221322222212322221()1()()(1)()(1)221====2212（）+1（）式中，，，，（）-1（）-1（）+1将上式进行拉氏反变换得：nnnnttptddtptddtptdctaetaetaeteatataeeaatae12312322123()1cossin01(cossin)1sin()，（辅助三角公式）常数项、振荡衰减项、单调衰减项142020/7/12nndnsjjspp21,231,=三阶系统的闭环极点为：三个极点的实部之比为：三阶系统的闭环极点分布图β1β1ntdpteaatae22123sin()振荡衰减项：单调衰减项：β反映了实数极点和共轭极点距离虚轴的距离之比。β1时，实极点起主导作用。因为实极点离虚轴近，单调衰减项的衰减缓慢，长时间起作用；而由于ζωn值大，衰减振荡项（共轭极点）的作用很快→0。β1时，共轭极点起主导作用。因为共轭极点离虚轴近，衰减振荡项的衰减缓慢，长时间起作用；而由于p值大，单调衰减项的作用很快→0。152020/7/12三阶系统阶跃响应曲线β1时，共轭极点起主导作用。因为共轭极点离虚轴近，衰减振荡项的衰减缓慢，长时间起作用；而由于p值大，单调衰减项的作用很快→0。β1时，实极点起主导作用。β≤0.2时可近似一阶系统。因为实极点离虚轴近，单调衰减项的衰减缓慢，长时间起作用；而由于ζωn值大，衰减振荡项（共轭极点）的作用很快→0。通常，β≥5时可近似为二阶系统。因为在上升时间tr之前，单调衰减项已经衰减完了，对之后的系统输出无影响。162020/7/12β=1时，实极点起和共轭极点同时起作用。此时的阶跃响应既振荡，又无超调量，是以指数规律为基准的振荡。172020/7/12②三阶系统闭环零点对过渡过程的影响为了说明闭环零点对系统过渡过程的影响，在三阶系统中加入一个闭环零点，即：182020/7/12192020/7/12（2）高阶系统的闭环零、极点对系统单位阶跃响应的影响高阶系统闭环传递函数可表示为：10111011112211100...()()()()...()()()()()(2)2()()mmmmnnnnmmiiiinqrjjkkkjjkibsbsbsbCsMssRsasasasaNsKszKszspspssbqrnnmKMsNsaz高阶系统的闭环传递函数为：其中：，，，和均为实系数多项式，故闭环零点、闭jp环极点只能是实根或共轭复根。202020/7/12122110221100()1()()()()(2)=2(0)=lim()(0)=lim()()()()jmiiqrjkkkjkqrjkkjkjkkksjjjspkkKszCsRsssspssAABsCsspssMAsCsNAspCsCspBCCs高阶系统的单位阶跃响应的拉氏变换为：式中，，是在闭环实数极点处的留数。和是与在闭环21kkkkj复数极点-处的留数有关的常系数。01122()sin()1()1jkqrpttjkdkkjkkkkdkkkkkkkkctAAeDetDCsj高阶系统的单位阶跃响应：式中，，是与在闭环复数极点-处的留数有关的常系数。212020/7/12011()sin()jkqrpttjkdkkjkctAAeDet高阶系统的单位阶跃响应：二阶因子引起的阻尼振荡一阶因子引起的非周期指数衰减高阶系统的单位阶跃响应表明：1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应叠加而成；响应式包含了稳态响应分量（第一项）和动态响应分量（第二项的单调衰减项，第三项的振荡衰减项）。2）如果所有闭环极点均具有负的实部，即所有闭环极点均位于s平面的左半平面，则随着时间的增加，所有模态均趋于零（对应瞬态分量），系统的单位阶跃响应最终稳定在c(∞)=A0，因此系统是稳定的；222020/7/123）闭环极点的性质决定动态分量的类型（响应的类型、模态）：实数极点非周期动态分量；共轭复数极点振荡衰减动态分量。4）离虚轴最近的闭环极点对动态分量影响最大，决定了其所对应的暂态分量衰减的快慢，距离越远衰减越快。232020/7/12指数函数（自然常数e≈2.71828）1()xxyee，越大，衰减越快。xye，越大，上升越快。242020/7/122221()1sin(1)10,0=arctan()1ntnecttt二阶系统的单位阶跃响应：，式中，011()sin()jkqrpttjkdkkjkctAAeDet高阶系统的单位阶跃响应：5）传函的部分分式系数与闭环零点、极点分布有关，所以，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。6）比较高阶系统与二阶系统的单位阶跃响应，可得结论：①高阶系统与二阶系统在单位阶跃函数作用下的响应过程的稳态分量均为常数。②两个响应式都包含正弦衰减项，这是因为高阶系统与二阶系统都有共轭复数闭环极点。③高阶系统响应比二阶系统响应多了指数衰减项，指数衰减项对高阶系统的影响是：使最大超调量减小，使过渡过程时间增加。252020/7/12高阶系统闭环极点对过渡过程影响的结论控制系统的暂态分量是由闭环极点造成的。对于一个稳定的高阶系统，如果有n个闭环极点，则过渡过程对于的输出具有n项暂态分量。当时间t→∞时，暂态分量全部→0。某一项暂态分量对过渡过程的影响，主要取决于造成该项暂态分量的闭环极点距离虚轴的远近程度。由此，就引出了闭环主导极点的概念。262020/7/122．高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析如果在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点，其周围没有闭环零点，而其他闭环极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的闭环极点所对应的响应分量，随时间的推移衰减缓慢，在系统的时间响应过程中起主导作用，这样的闭环极点就称为闭环主导极点。假设n阶系统中，闭环主导极点与虚轴的距离为σ1，其他极点距离虚轴的距离为σi（i=2,3,…,n），则σi≥5σ1。闭环主导极点常以一对共轭复数极点的形式出现。272020/7/12闭环主导极点可以是实数极点，也可以是复数极点，或者是它们的组合。除闭环主导极点外，所有其他闭环极点由于其对应的响应分量随时间的推移而迅速衰减，对系统的时间响应过程影响甚微，因而统称为非主导极点。在控制工程实践中，通常要求控制系统既具有较快的响应速度，又具有一定的阻尼程度，此外，还要求减少死区、间隙和库仑摩擦等非线性因素对系统性能的影响。因此高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭主导极点。这时，可以用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的动态性能。Re()5Re()ssss主主非主非主高阶系统近似为低阶系统的条件：高阶系统的非主导极点与主导极点满足关系282020/7/12结论（了解）：由一阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程分析可知，当取△=2%时，极点s1=-p单独引起的过渡过程暂态分量的衰减时间为：34445sntTp由二阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程分析可知，以共轭复数极点s1、s2引起的过渡过程暂态分量的衰减时间为：14snt所以，ts3=0.2ts1。292020/7/12例3-6已知某系统的闭环传递函数为解：改写系统的闭环传递函数，可得))(.)(.().(.)()()(115011250147600512ssssssRsCs))()(().()()()(1281282ssssssRsCs极点为s2+s+1=086605023502411221...,jjs12340.50.8660.50.86628sjsjss302020/7/12312020/7/12该四阶系统可近似成如下的二阶系统：10512sssRsCs.)()()(