搜索
2015’新课标·名师导学·新高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(二十二)(几何证明选讲)时间：60分钟总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2A【解析】在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，所以CD2＝AD•DB，由切割线定理得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.【解析】∵AD与⊙O相切于点A，AC为⊙O的弦，∠CAD＝∠B＝35°，∠BCA＝∠CAD＋∠D，∴∠D＝80°－35°＝45°，选A.2．过圆内接△ABC的顶点A引切线交BC的延长线于D，若∠B＝35°，∠ACB＝80°，则∠D＝()A．45°B．50°C．55°D．60°A【解析】由切线长定理得PA2＝PB·PC，所以PC＝16，BC＝12.由弦切角定理，得∠PCA＝∠PAB，所以△PAB∽△PCA.所以ABCA＝PAPC＝12，所以AB＝12AC，又AC2＋AB2＝BC2，所以AC＝2455.3．如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A为切点，AP与CB的延长线交于点P.若PA＝8，PB＝4，则AC的长度为()A．55B．8C．45D.2455D【解析】因为A，B，C，P四点共圆，所以∠APC＋∠B＝180°，又AB＝AC，∠B＝∠ACB，所以∠APC＝∠ACD，又∠CAP＝∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以APAC＝ACAD，即AP·AD＝AC2＝9.4．在△ABC中，AB＝AC＝3，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D，则AP·AD＝()A．3B．6C．9D．12C5．如图，AB是半圆的直径，点C，D在AB上，且AD平分∠CAB，已知AB＝10，AC＝6，则AD＝()A．8B．45C．10D．210B【解析】∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵AC＝6，AB＝10，∴cos∠CAB＝ACAB＝35.∵AD平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠DAB，∴cos2∠DAB＝2cos2∠DAB－1＝35，∴cos2∠DAB＝45，∴cos∠DAB＝255，∵cos∠DAB＝ADAB＝AD10＝255.∴AD＝45，选B.【解析】由EF＝16，GF＝12得EG＝4，又AD＝DF＝BC，DF∥BC，所以△DGF∽△CGB，所以BG＝FG＝12＝BE＋EG，则BE＝8，故选B.6．如图，F为▱ABCD的边AD延长线上一点，DF＝AD，BF分别交DC，AC于G，E，EF＝16，GF＝12，则BE的长为()A．6B．8C．12D．15B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则BFFC＝____________．128．如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD、AC于点E、F.若AD＝3AE，则AF∶FC＝_________．1:4【解析】连接BC，∠PCB＝∠CAP＝30°，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴∠CPB＝30°＝∠PCB，∴PB＝BC＝12AB，根据切割线定理可知，PC2＝PB·PA＝PB·(PB＋BA)，可以解得AB为4.9．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，PC＝23，若∠CAP＝30°，则⊙O的直径AB＝______．4【解析】由圆的性质PA2＝PC·PB，得PB＝12，连接OA交BC于D，并反向延长OA交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD＝4，DA＝2，故CD＝3，DB＝8，记圆的半径为R，由于ED·DA＝CD·DB因此(2R－2)·2＝3·8，解得R＝7.10.如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA＝30°，PA＝23，PC＝1，则圆O的半径等于______．7三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.【解析】如图，连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.12．(16分)(2013辽宁)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.【解析】证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝π2.又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.13．(18分)(2013全国新课标Ⅰ)如图所示，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【解析】(1)证明：联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝32.设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于32.