专题训练(五) 二次函数与几何图形小综合

九年级数学上册（人教版）第二十二章二次函数专题训练(五)二次函数与几何图形小综合类型之一二次函数与三角形的结合1．如图，直线l过点A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝92，求二次函数的解析式．解：设直线l的解析式为y＝kx＋b，∵直线l过点A(4，0)和B(0，4)两点，∴4k＋b＝0，b＝4，∴y＝－x＋4.∵S△AOP＝92，∴12×4×yp＝92，∴yp＝94，∴94＝－x＋4，解得x＝74.把点P的坐标(74，94)代入y＝ax2，解得a＝3649，∴y＝3649x22．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°.求这条抛物线的解析式．解：∵AO＝OB＝2，∠AOB＝120°，∴点B的坐标为(2，0)，点A的坐标为(－1，3)．∵抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)经过点A和x轴正半轴上的点B，∴4a＋2b＝0，a－b＝3，解得a＝33，b＝－233，∴抛物线的解析式为y＝33x2－233x3．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，B(0，2)，抛物线y＝12x2＋bx－2过C点．求抛物线的解析式．解：过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠OBA＝∠OAB＝90°，∠OAB＋∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD，又AB＝AC，∴△AOB≌△CDA(ASA)．∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1)．∵点C(3，1)在抛物线y＝12x2＋bx－2上，可得b＝－12，∴抛物线的解析式为y＝12x2－12x－2类型之二二次函数与平行四边形的结合4．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)．求抛物线的解析式．解：由已知点，得C(5，4)．把A(－2，0)，D(0，4)，C(5，4)代入抛物线解析式y＝ax2＋bx＋c中，得4＝25a＋5b＋c，0＝4a－2b＋c，4＝c.解得a＝－27，b＝107，c＝4.所以抛物线的解析式为y＝－27x2＋107x＋4类型之三二次函数与矩形、菱形、正方形的结合5．二次函数y＝23x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，Bn在二次函数位于第一象限的图象上．四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，…，四边形An－1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1＝∠A1B2A2＝∠A2B3A3＝…＝∠An－1BnAn＝60°，菱形An－1BnAnCn的周长为____．4n6．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－23x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．求该二次函数的解析式．解：由题意，得C(0，2)，B(2，2)，∴c＝2，－23×4＋2b＋c＝2，所以b＝43，c＝2，所以该二次函数的解析式为y＝－23x2＋43x＋27．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图甲中，若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE＝EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)；(2)如图乙，若点E在线段BC上滑动(不与点B，C重合)．①AE＝EF是否总成立？请给出证明；②在如图乙所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，求此时点F的坐标．解：(1)如图甲，取AB的中点G，连接EG，△AGE与△ECF全等(2)①若点E在线段BC上滑动，AE＝EF总成立．证明：如图乙，在AB上截取AM＝EC.∵AB＝BC，∴BM＝BE，∴△MEB是等腰直角三角形，∴∠AME＝180°－45°＝135°.又CF平分正方形的外角，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF.而∠BAE＋∠AEB＝∠CEF＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF.∴AE＝EF.②过点F作FH⊥x轴于H，由①知，FH＝BE＝CH，设BH＝a，则FH＝a－1，∴点F的坐标为(a，a－1)．∵点F恰好落在抛物线y＝－x2＋x＋1上，∴a－1＝－a2＋a＋1，∴a2＝2，a＝2(负值不合题意，舍去)，∴a－1＝2－1.∴点F的坐标为(2，2－1)