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四川省巴中市平昌中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中只有一个是正确的．）1．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是（）A．a﹣c＞b﹣dB．ac＞bdC．a+c＞b+dD．a+d＞b+c2．已知等差数列{an}满足a2+a8=12，则a5=（）A．4B．5C．6D．73．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（﹣1，2），=（5，7）B．=（0，0），=（1，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（，﹣）4．在△ABC，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若内角A、B、C依次成等差数列，且不等式﹣x2+6x﹣8＞0的解集为{x|a＜x＜c}，则b等于（）A．B．2C．3D．45．已知数列{an}，满足an+1=，若a1=，则a2014=（）A．B．2C．﹣1D．16．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程是（）A．x+y﹣5=0B．3x﹣2y=0C．x+y﹣5=0或3x﹣2y=0D．x﹣y+1=0或3x﹣2y=07．已知△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，且a=x（x＞0），b=2，A=60°，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞B．0＜x＜2C．＜x＜2D．＜x≤28．数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），则a12+a22+…+an2等于（）A．4nB．C．D．9．若直线l沿x轴向左平移3各单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为（）A．B．﹣C．3D．﹣310．已知平面向量，，满足||=，||=1，•=﹣1，且﹣与﹣的夹角为45°，则||的最大值等于（）A．B．2C．D．111．△ABC满足•=2，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点（不含边界），定义f（M）=（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f（M）=（x，y，），则+的最小值为（）A．4B．6C．9D．12．已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．则△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．钝角三角形二．填空题（本大题4个小题，每题4分，共16分，请把答案填在答题卷中相应横线上）13．在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2﹣2x﹣6=0的两根，则a4a7=．14．已知||=6，||=3，=﹣12，则向量在向量上的投影是．15．若直线l1：（2a﹣1）x﹣y+3=0与直线l2：y=4x﹣3互相垂直，则a=．16．下列命题：①常数列既是等差数列又是等比数列；②若直线l：y=kx﹣与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（，）；③若α，β都是锐角，sinα=，cos（α+β）=，则cosβ=④如果（a﹣2）x2+（a﹣2）x﹣1≤0对任意实数x总成立，则a的取值范围是[﹣2，2]．其中所有正确命题的序号是．三．解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．若=（0，3），=（，1），=3+5，=m﹣5，（1）试问m为何值时，与互相平行；（2）试问m为何值时，与互相垂直．18．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足=，•=3．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）若b+c=6，求a的值．19．已知{an}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．（1）求通项an及Sn；（2）设{bn﹣an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．20．已知函数，（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；（2）若f（x）＜m+2在上恒成立，求实数m的取值范围．21．四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（6，2），B（4，6），C（2，6），直线y=kx（＜k＜3）把四边形OABC分成两部分，S表示靠近x轴一侧那部分的面积．（1）求S=f（k）的函数表达式；（2）当k为何值时，直线y=kx将四边形OABC分为面积相等的两部分．22．设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{bm}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得bm=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．四川省巴中市平昌中学2014-2015学年高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中只有一个是正确的．）1．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是（）A．a﹣c＞b﹣dB．ac＞bdC．a+c＞b+dD．a+d＞b+c考点：基本不等式．专题：阅读型．分析：本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．解答：解：∵b＜a，d＜c∴设b=﹣1，a=﹣2，d=2，c=3选项A，﹣2﹣3＞﹣1﹣2，不成立选项B，（﹣2）×3＞（﹣1）×2，不成立选项D，﹣2+2＞﹣1+3，不成立故选C点评：本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题．2．已知等差数列{an}满足a2+a8=12，则a5=（）A．4B．5C．6D．7考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差中项可得a2+a8=2a5，由a2+a8的值可求得a5．解答：解：∵a2+a8=2a5=12，∴a5=6．故选C．点评：本题通过等差中项来求最简单，可以不用通过通项公式来求．属基础题．3．下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．=（﹣1，2），=（5，7）B．=（0，0），=（1，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（，﹣）考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：可作为基底的两向量不共线，而根据共线向量的坐标关系即可判断出A中的两向量不共线，B，C，D中的两向量都共线，从而便可得出正确选项．解答：解：不共线的向量可以作为基底；设，若共线，则：x1y2﹣x2y1=0；根据共线向量的坐标关系即可判断出A中的两个向量不共线，而B，C，D中的两向量都共线；∴可以作为基底的应是A中的两向量．故选A．点评：考查基底的概念，共线向量基本定理，以及共线向量的坐标关系．4．在△ABC，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若内角A、B、C依次成等差数列，且不等式﹣x2+6x﹣8＞0的解集为{x|a＜x＜c}，则b等于（）A．B．2C．3D．4考点：等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：利用等差数列的性质，可得B，由不等式﹣x2+6x﹣8＞0的解集为{x|a＜x＜c}，求出a，c，再利用余弦定理，可得结论．解答：解：∵内角A、B、C依次成等差数列，∴B=60°，∵不等式﹣x2+6x﹣8＞0的解集为{x|a＜x＜c}，∴a=2，c=4，∴b2=a2+c2﹣2accos60°=4+16﹣2•2•4•=12，∴b=2．故选：B．点评：本题考查等差数列的性质，考查解不等式、余弦定理，考查学生的计算能力，比较综合．5．已知数列{an}，满足an+1=，若a1=，则a2014=（）A．B．2C．﹣1D．1考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，分别令n=1，2，3，4，利用递推思想依次求出数列的前5项，由此得到数列{an}是周期为3的周期数列，由此能求出a2014．解答：解：∵数列{an}，满足an+1=，a1=，∴a2==2，a3==﹣1，a4==，，∴数列{an}是周期为3的周期数列，∵2014÷3=671…1，∴a2014=a1=．故选：A．点评：本题考查数列的第2014项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．6．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程是（）A．x+y﹣5=0B．3x﹣2y=0C．x+y﹣5=0或3x﹣2y=0D．x﹣y+1=0或3x﹣2y=0考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：当直线经过原点时，易得直线的方程；当直线不过原点时，设直线的方程为+=1，待定系数法可得．解答：解：当直线经过原点时，直线的斜率为k==，直线的方程为y=x，即3x﹣2y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为+=1，代入点P（2，3）可得a=5，∴所求直线方程为x+y﹣5=0综合可得所求直线方程为：x+y﹣5=0或3x﹣2y=0故选：C点评：本题考查直线的截距式方程，涉及分类讨论的思想，属基础题．7．已知△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，且a=x（x＞0），b=2，A=60°，若三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞B．0＜x＜2C．＜x＜2D．＜x≤2考点：解三角形．专题：综合题；解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，将a，b，sinA的值代入表示出sinB，根据B的度数确定出B的范围，要使三角形有两解确定出B的具体范围，利用正弦函数的值域求出x的范围即可．解答：解：∵在△ABC中，a=x（x＞0），b=2，A=60°，∴由正弦定理得：sinB==∵A=60°，∴0＜B＜120°，要使三角形有两解，得到60°＜B＜120°，且B≠90°，即＜sinB＜1，∴＜＜1，解得：＜x＜2，故选：C．点评：此题考查了正弦定理，以及正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．8．数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），则a12+a22+…+an2等于（）A．4nB．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用Sn﹣Sn﹣1可知an=2n﹣1（n≥2），通过n=1可知a1=S1=2，进而可知=，计算即得结论．解答：解：∵Sn=2n（n∈N*），∴an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1（n≥2），又∵a1=S1=2不满足上式，∴an=，∴=，∴a12+a22+…+an2=4+（42+43+…+4n）=4+•=4+•（4n﹣4）=•（4n+8），故选：D．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．9．若直线l沿x轴向左平移3各单位，再沿y轴向上平移1个单位后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为（）A．B．﹣C．3D．﹣3考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：设直线l的方程为：y=kx+b，利用平移变换的规则：“左加右减，上加下减”，求出变换后直线方程，再由条件求出直线的斜率．解答：解：设直线l的方程为：y=kx+b，∵直线l沿x轴向左平移3各单位，再沿y轴向上平移1个单位后，∴变换后的直线方程是：y=kx+3k+b+1．∵经过两次平移变换后回到原来的位置，∴必有3k+b+1=b，解得k=，故选：B．点评：本题考查图象的变换，熟练掌握平移变换的规律是解题关键，属于基础题．10．已知平面向量，，满足||=，||=1，•=﹣1，且﹣与﹣的夹角为45°，则||的最大值等于（）A．B．2C．D．1考点：正弦定理；平面向量数量积的运算．专题：解三角形；平面向量及应用．分析：由于平面向量，，满足||=，||=1，•=﹣1，利用向量的夹角公式可得．由于﹣与﹣的夹角为45°，可得点C在△OAB的外接圆的弦AB所对的优弧上，因此可得||的最大值为△OAB的外接圆的直径．解答：解：设，，．∵平面向量，，满足||=，||=1，•=﹣1，∴=，∴．∵﹣与﹣的夹角为45°，∴点C在△OAB的外接圆的弦AB所对的优弧上，如图所示．因此||的最大值为△OAB的外接圆的直径．∵==．由正弦定理可得：△OAB的外接圆的直径2R===．故选：A．点评：本题考查了向量的夹角公式、三角形法则、数形结合的思想方法、正弦定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题．11．△ABC满足•=2，∠BAC=30°，设M是△ABC内的一点