数学解题之一题多解与多题一解

-1-摘要本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力发展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以达到对学生思维能力的训练培养的目的。通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间内在的联系。与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。关键词：一题多解多题一解思维能力-2-AbstractAmultisolutionwithmulti-title,asolutionisacommonlyusedmethodintheteachingofmathematicalproblemsolving.Toagivenproblem,canmathematicalknowledgehasbeenanorganicgatheringofstudents'divergentthinkingisagoodopportunityforitsexercise;asolutionofthemulti-title,studentscandigesttheknowledge,butalsotrainingthestudentsoftheIdea.Inthispaper,twotypicalexamplethatisaquestiontothemulti-solutionandmulti-titlesolution-basedexplanationonthepurposeoftrainingthetrainingofthestudents'thinkingabilitiescanbeachievedthroughdifferentexamples.Toagivenproblem,youcanbroadenthehorizonsofthestudents'thinking,divergentthinkingofthestudents,forstudentstolearnmulti-angleanalysisandproblemsolving;asolutionmorethanthequestion,canenhancestudents'depthofthinking,learntoanalyzethingsfromoutsidetoinside,toseizethethenatureofthings,findthingsintrinsicallylinked.Thisarticleisintendedrelationshipbetweenthedevelopmentoftheabilitytoclearagivenproblemandasolutionofthemulti-title,withstudentsthinking,sothatteacherspaymoreattentiontothecultureofproblem-solvingapproachtostudents'thinkingabilityinmathematicalproblemsolvingteachingprocess.Keywords：MultiplesolutionsforonequestionAsolutionsofthemulti-titleThinkingability-3-数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养引言现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学。也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握基础知识、基本技能外，还要注意培养学生的思维能力。培养学生的思维能力是新课程改革的基本理念，也是数学教育的基本目标之一。“学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断。”数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。因此，作为一名数学教师，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。惠州市惠州区广播电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为，不同的解题方法，可以培养学生不同的思维方式。如，一题多解可以培养思维的广阔性；数形结合，可以培养思维的灵活性；巧妙构造，可以培养思维的独创性；逆向探求，可以培养思维的敏捷性；动静变换，可以培养思维的变通性等。从心理学角度讲，发散性思维和集中性思维的有机结合，正是培养创造性思维的有效途径。本文着重阐述一题多解与多题一解的灵活运用对培养学生思维能力的重要性。-4-一、一题多解对学生思维能力的培养同一数学问题用不同的数学方法来解答，我们称之为“一题多解”。其特点就是对同一个问题从不同的角度、不同的结构形式、不同的相互关系通过不同的思路去解答同一个问题。一题多解能快速整合所学知识，重要的是能培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力。苏东坡的《题西林壁》“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”其中强调“横看”、“侧看”、“远看”、“近看”、“高看”、“低看”形象的给我们展示了“一题多解”的精髓。（一）提高分析、解决问题的能力一题多解，能够使学生开阔思路，把学过的知识和方法融会贯通，使用自如，大大提升分析问题和解决问题的能力。例1.甲乙两地相距450千米。客车和货车同时从两地相向而行，客车行完全程需10小时，货车行完全程需15小时，相遇时两车各行多少千米？解法一：用工程问题的解法。根据速度=路程÷时间可以求出客车的速度为450÷10=45（千米/小时），货车的速度为450÷15=30（千米/小时）。（1）几小时后两车相遇：450÷（45+30）=6（小时）（2）相遇时客车行了多少千米：45×6=270(千米)（3）相遇时货车行了多少千米：30×6=180(千米）解法二：用比例分配的方法。两车所需的时间之比是：10:15，根据距离一定，速度与时间成反比例关系进行解答。（1）两车所需的时间之比是：10:15=2:3所以两车速度之比是：3:2（2）两车运行时间相同，所以路程与速度成正比例，即两车行驶路程之比是：3:2（3）相遇时客车行了多少千米：450×（35)=270(千米）（4）相遇时货车行了多少千米：450×（25)=180(千米）-5-答：相遇时客车行了270千米，货车行了180千米。解法一通过求出两车相遇时间作为中介，进而求出相遇时两车各自的行程，这种方法是处理类似工程问题最为一般的方法，也是最为普遍和有效的方法，是解决更为复杂的工程问题的基础。通过这种方法的解答，可以让学生对类似工程问题中的基本变量以及各个变量之间的关系有了最清晰的认识。而解法二是通过对公式路程=速度×时间的灵活运用，只需求出两车的速度之比，进而运用比例对两车各自的行程进行分配，可以说是对公式的升华。两种解法各有千秋，解法一让人一目了然，可以培养学生处理问题的掌控能力，鼓励学生在处理问题时要全面分析，把握各个要素，理清各自关系，按部就班，步步为营，各个击破。解法二是在对基础知识的熟知之上，运用技巧处理各要素关系，进而使问题迎刃而解，是一种简便快捷而有效的方法。通过对这种一题两解的培养，可以锻炼学生在对基础知识和方法的掌握之后进行融会贯通，灵活运用，增强求简意识、优化思维品质，提升学生分析问题和解决问题的能力。（二）提高多角度分析能力一题多解可以培养学生灵活、敏捷的思维能力，让学生学会对问题进行多角度、多层次的分析，达到对问题的全面理解，进而迅速准确的解决问题。例2.6人站成一排，若甲不能站排头，乙不能站排尾，则不同的站法有多少种？解法一：假设左边第一个位置为排头，那么甲的站法有如下五种可能：①□甲□□□□②□□甲□□□③□□□甲□□④□□□□甲□⑤□□□□□甲。又因为乙不能站排尾，故①-④中乙的站法各有C14种，在⑤中乙的站法有C15种，各图中其他人的站法均为A44种。根据乘法和加法原理，不同的站法种数共有4C14A44+C15A44=504种。解法二：有了上述分析为基础，我们可更抽象地分析如下：若甲站在中间4个位置之一，则乙可站在除排尾及甲的位置之外的4个位置之一，其余4人站在空下的4个位置之上，有C14C14A44种；若甲站排尾，则其余5人可站在空下的位置上，有55A种站法。据加法原理共有C14C14A44+A55=504种不同的站法。解法三：排头、排尾的站法可分三类，其一是由甲、乙之外的四人站，然后其-6-他人再站，有A24A44种；其二是甲站排尾，其余五人再站，有A55种站法；其三是乙站排头，甲不站排尾，有C14A44种站法。根据加法原理共有A24A44+A55+C14A44=504种不同的站法。解法四：不考虑甲乙的要求共有A66种站法，其中甲站排头的有A55种站法，乙站排尾的也有A55种站法，但这两种站法中都包含了甲站排头、乙站排尾的情形，即A44种站法，因此符合要求的站法种数有A66-（2A55-A44）=504种。四种解法中，第一种解法最为直接，即通过题干的条件一一进行确定，先确定甲不站排头，再确定乙不站排尾，最后再确定其他人位置，进而得出结果，调理清楚，顺理成章；第二种解法是对第一种解法的抽象；第三种解法与前两种从人员分配入手的解法不同，该解法从位置角度入手，分别确定排头、排尾的三类站法，进而相加求出结果；第四种解法采取逆向思维，先不考虑题干具体要求，求出站法总数，然后再依据要求一一进行排除，从而得出结论。四种解法入手点各有不同，前两者从人员入手，第三种从位置入手，最后一种从反面入手，逆向思维。通过这种多角度解题方法的训练，可以培养学生思维的立体性，多面性，灵活性，避免思维的单一和固化。在遇到实际问题时，若一种角度无法解决，可另辟蹊径多角度分析，也许会收到更好的结果，正所谓“山重水复疑无路，柳暗花明又一村。”（三）培养发散思维及联想能力通过一题多解的训练，可以培养学生的发散性思维及联想能力，学会用不同的知识解决同一个问题，达到对多种知识的融会贯通。例3.已知：a0,b0,1a+2b=1,求ab的最小值。解法一：利用不等关系∵a0,b0,1=1a+2b≥2ab2,∴ab≥8(当且仅当1a=2b=21，即a=2,b=4时取“=”号），∴ab的最小值是8。-7-解法二：平方法∵a0,b0,1a+2b=1，∴1=（1a+2b）²=2a1+2b4+ab4≥222ba4+ab4=ab8(当且仅当1a=2b=21，即a=2,b=4时取“=”号）。∴ab的最小值是8。解法三：利用三角恒等关系换元∵a0,b0,1a+2b=1,可令2cos1a，2sin2b。∴2cos1a，2sin2b，∴82sin8sincos2222ab(当且仅当1a=2b=21，即a=2,b=4时取“=”号）。∴ab的最小值是8。解法四：均值换元∵a0,b0,1a+2b=1,可令1a=21+t，2b=21-t，其中-21t21,∴ab=24t-188,﹙∵1－4t²(0,1]，当1－4t²=1，即t=0，a=2，b=4时，取“=”号）解法五：导数求最值∵a0,b0,1a+2b=1,∴b=1-aa20,a1,∴ab=1-aa22。-8-令ƒ（a）=1-aa22（a1),∴ƒˊ(a)=21-a2-aa2）（）（。令ƒˊ(a)=0，解得a=21。当a（1,2）时，ƒˊ(a)0,此时ƒ（a）是减函数，当a（2，+∞）时，ƒˊ(a)0,此时ƒ（a）是增函数。∴当a1时，ƒ最小值a=ƒ极小值a=ƒ（2）=1-2222=8。（此时a=2,b=4)。五种解法，第一种利用不等关系求解，是解决类似问题最先想到的方法，也是最直接的解法；第二种的平方