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波利亚的解题理论与中学数学教学一．波利亚的解题表及评述二．波利亚的‘‘启发法’’和‘‘合情推理’’三．波利亚解题理论的评述及其对中学数学教学的影响波利亚(1887.12-1985.9)没有一道题可以解决得十全十美，总存在值得我们探究的地方。——[美]G.波利亚波利亚的解题表及评述一．波利亚的解题技巧二．关于波利亚解题表的解释三．1个例子学习数学要做到熟练化．熟能生巧，进而出神入化．而要这样，就必须练。——华罗庚波利亚的解题技巧解题过程分为以下四个阶段:一、弄清问题（1）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?（2）画张图,并引入适当的符号.（3）把条件的各部分分开,并把它们写下来.（4）题目要求你干什么?可否数学化?二、拟订计划1.考虑以前是否见过它?是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道一个可能用得上的定理?2.考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.3.能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素?4.能否用不同的方法重新叙述它?5.回到定义去.6.如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.7.是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?三、执行计划1、实现你的求解计划,检验每一步骤.2、你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?3、把你想好的解题过程具体地用术语,符号,图形,式子表述出来.4、修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案.5、解题要求是:严密具有逻辑性.四、回顾1.能否检验这个论证?2.你能否用别的方法导出结果?3.能不能一下子看出它来?4.能不能把这结果或方法用于其他问题?1个例子例1已知k＞a＞b＞c＞0，求证：k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0读题，读题，反复读题，这是解题时首先要认真做的事，切莫忽视弄清问题问题应当用自己的语言重新叙述．通过复述，可以发现学生是否理解了题意，有没有忽略重要的部分．凡有学生来问问题，首先让他复述，切不可急急忙忙地把解答告诉他．因为比解答更重要的是解法，即如何从已知走向未知，而将题目中的“信息”重新编排，适当整理，正是走向未知的第一步．弄清问题1.实际上，改变问题的提法已不仅是弄清题意，可以说是向问题的解决进了一大步．2.波利亚主张“不断地变换你的问题”，“我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”．拟订计划1.问题明确后，便是通常所说的真正的解题阶段．2.熟悉的问题，有一定套路的问题，不需太多思考．3.稍进一步的问题，需要一点变化，波利亚的表中“你是否见过相同的或形式稍有不同的问题？”可用，以唤醒你的记忆，从大脑的信息库中找到一个可以利用的模式．4.真正的问题是不能照套的，需要解题者发挥某种程度的主动性与创造性．主动性与创造性程度越大，问题的难度越大，质量越高．对这类问题来说，波利亚所说的“你以前见过它吗？”等等，就不用再考虑了，没有多大用处．这类问题往往是竞赛性的.执行拟订计划例2已知k＞a＞b＞c＞0，求证：k2－(a+b+c)k+ab+bc+ca＞0①解题：抛物线y=x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca开口向上．如果二次多项式x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca②的判别式△=(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca)③满足△＜0④那么抛物线与x轴没有交点，从而在x轴上方，恒有x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＞0．⑤于是①成立．故，原问题化为证明④成立．这一计划也很清楚，但是无法证明④一定成立．实现计划在解题中，这一步是最容易的，如果计划是完善的，实现计划往往是“例行公事”，作一些机械性的计算，但计划往往是不完善的，所以又往往需要回到上一步，出现一些反复．此外，计算或操作中也许有困难存在，甚至会遇到难以逾越的困难，这时原来计划必须推倒重来．检验与回顾1.解题，如同在黑暗中走进一间陌生的房间．回顾，则好像打开了电灯．这时一切都清楚了：在以前的探索中，哪几步走错了，哪几步不必要，应当怎样走，等等．朦胧变成了自觉．2.正如波利亚所说，这是“领会方法的最佳时机”，“当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探究他刚才克服困难的实质，他可以对自己提出许多有用的问题：‘关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方我可以完成得更好些？我为什么没有觉察到这一点？要看出这一点我必须具备哪些知识？应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？’12条解题要诀——单撙1．要享受到解题的乐趣．对解题有浓厚的兴趣，能有几分痴迷更好．2．要有充足的信心．3．要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力．4．要做100道有质量的题目．5．反复探索，大胆地跟着感觉走．6．从简单的做起．7．从不同的角度看问题．8．学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想法”．9．设法创造条件，不断变更问题．10．引入适当字母，向基本量靠拢．11．力求简单自然，直剖核心．12．注意总结．关于波利亚解题表的解释1.教师应顺其自然地帮助学生，把自己看成学生，去理解学生在想什么。2.了解学生和学生已有知识和经验，再针对学生实际提供恰当建议。3.任何僵化的、机械的、迂腐的步骤必然是不利的。4.解题表必须简短，有利于形成良好的思维习惯。关于波利亚解题表的解释好问题、建议的标准：如果学生已经接近于问题的解答，那么他也许会理解这个问题所给的暗示；但如果不是这样，他可能根本看不到这个问题所要指向的要点，那么无法在他最需要的地方给他帮助如果学生理解了问题的暗示，所有的奥秘都被揭开了，几乎没有什么留给学生做的了。建议太特殊即使学生能应用他来解决手头的这个问题，但对以后会碰到的题目他们就不会了，什么也没学到，故这个建议没有启发性。关于波利亚解题表的解释值得注意的四个方面(1)只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，不仅可以提高解题能力，而且还可以养成规范的思维习惯．并不是所有的题目都要像表中那样“面面俱到”．(2)解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的同时，应重视拓宽学生的认知面，经历探索，温故知新，体会数学的应用价值，形成创新技能．(3)解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成．(4)正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为“题海战术”．波利亚的‘‘启发法’’和‘‘合情推理’’启发法•启发法的目的是要学习发现和创造和规则•启发法的具体模式或方法：分组分解、笛卡尔模式（即‘‘万能模式’’）、递归模式、叠加模式、特殊化模式、一般化方法；‘‘从前往后退’’、设立次目标、合情推理模式；画图法、看着未知数、回到定义去、考虑相关问题、对问题进行变形、类比法，等等。波利亚的‘‘启发法’’和‘‘合情推理’’合情推理•合情推理就是从已有的知识和具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等手段在某种情境和过程中推出可能性结论的推理．这种推理的途径是从观察、实验入手，通过类比而产生联想，或通过归纳而作出猜想．合情推理的实质是“发现”。•波利亚呼吁:让我们教猜想吧!我国的理科教学,历来较多强调逻辑推理,而对合情推理有所忽视.波利亚解题理论的评述及其对中学数学教学的影响教师培训的方法根据波利亚的做法，用来培训教师的方法主要有２种：一种是“研讨”．为了提高教师的数学素养（主要是解题能力），波利亚说：“我并没有什么万灵药方，但我曾试过一些做法．我曾经介绍和多次重复主持过一些教师研讨班，研究如何解题……”；一种是“演示法”或“示范法’’波利亚解题理论的评述及其对中学数学教学的影响教师的数学专业课程与素质波利亚非常重视作为教师应有的数学专业素质，他提出：“教师要掌握２个方面的东西——知识和技巧．技巧是运用知识的能力．当然没有不带独立思考、独到见解和创造力的技巧．数学上的技巧就是做题的能力，给出证明的能力，审断论据的能力，流利地运用数学语言的能力以及在具体情况下辨认数学概念的能力等．“教师十戒”波利亚在教学实践的基础上，经过思维加工，归纳提炼出“一套见解”，他称之为“教师十戒”；前４条是教师搞好教学的“充分必要条件”：（１）要对自己所教课程有若趣；（２）要“熟知自己的科目”；（３）要清楚学生的学习过程；（４）是要了解学生实际．（５）--（７）条是讲教学目的的，着重强调培养学生的“解题能力”、“猜想能力”和“证明能力”．（８）是说解题教学中要让学生获得“一些可能用于解今后题目的特征”；（９）--（10）条是强调“在现有条件下留给学生尽可能多的自由余地，让他们发挥其首创精神和积极性”参考资料【1】杨骞.波利亚数学教育理论的现代启示.数学教育学报，2002，5：11-2.【2】互动百科【3】百度百科【4】百度文库://wenku.baidu.com/view/d779297f5acfa1c7aa00cc3d.html