数学培优竞赛新方法(九年级)-第21讲-圆与圆

1第20讲圆与圆知识纵横圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下二种方法：1.通过两圆交点的个数确定；2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定。为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、公切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。例题求解【例1】如图，相距cm2的两点A、B在直线l上，它们分别以scmscm/1,/2的速度在l上同时向右平移，当点A、B分别平移到点1A、1B的位置时，半径为cm1的1A与半径为1BB的B相切，则点A平移到点1A所用的时间为__________s.（2011年嵊州市中考题）思路点拨两个动圆，1A移动圆心，B的半径大小改变，两动圆内切或外切，故应全面讨论。【例2】如图，圆心为A、B、C的三圆彼此相切，且均与直线l相切。若CBA,,的半径分别为cba,,)0(bac，则cba,,一定满足的关系式为（）。（天津市竞赛题）cabA2.caB62.bacC111.bacD111.思路点拨从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径和分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线。2【例3】如图①，在矩形ABCD中，cmBCcmAB4,20，点P从A开始沿折线DCBA一以scm/4的速度移动，点M从C开始沿CD边以scm/1的速度移动。如果点P、M分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为)(st。（1）t为何值时，四边形APMD为矩形？（2）如图②，MP,的半径都是cm2，那么t为何值时，MP,相外切？（南京市中考题）思路点拨对于（1），把相关线段用t的式子表示，利用图形性质建立方程；对于（2），解题的关键是分情况讨论。【例4】已知1O与2O相交于BA,，且1O的半径为cm3，2O的半径为.5cm（1）过点B作ABCD分别交1O和2O于DC,两点，连接ACAD,，如图①，试求ADAC的值；（2）过点B任画一条直线分别交1O与2O于FE,，连接AE和AF，如图②，试求AFAE的值。（巴中市中考题）思路点拨对于（2），AFAE应与两圆半径相关，需构造相似三角形，利用图①或构造直径或联想相交两圆的性质。3【例5】如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆1O在OA上并与弧AB内切于点A，半圆2O的圆心在OB上，并与弧AB内切于B，半圆1O与半圆2O相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y。（1）试建立以x为自变量的函数y的解析式；（2）求函数y的最小值。（太原市竞赛题）分析设两圆1O、2O半径分别为R、r，对于（1）)(2122rRy，通过变性把22rR用rRx的代数式表示，作出辅助线；对于（2），因rRx，故是在约束条件下求y的最小值，解题的关键是求出rR的取值范围。化繁为简【例6】如图，圆A、B的半径都为1，且相互外切。圆SRQP,,,的半径都为r,且圆P与4圆A、B、Q、S都分别外切，圆Q与圆RBP,,都分别外切，圆R与圆RAP,,都分别外切，求r的值。（2011年青少年数学国际城市邀请赛试题）分析与解连接圆心、连接切点与圆心，关注由此生成的三角形。如图，连接SAPAPS,,，设A、B相切于T，则22222STPSPTATPA，即2222)2()(1)1(rrrr，解得2173r（负值已舍去）。TBAQRSP学力训练基础夯实1、O的半径为cm3,点M是O外一点，,4cmOM则以M为圆心且与O相切的圆的半径是.cm（长春市中考题）2、如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为4和1，则它们与墙的切点A、B间的距离为。（绍兴市中考题）53、如图，大圆O的半径OC是小圆1O的直径，且有OC垂直于圆O的直径AB，1o的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D，已知1o的半径为r，则1AO；DE。（杭州市中考题）4、如图①，4321,,,OOOO为四个等圆的圆心，DCBA,,,为切点，请你在图中画出一条线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，4321,,,OOOO5,O为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．（天津市中考题）5、如图，施工工地的水平面上，有三根外径都是m1的水泥管两两摞在一起，则其最高点到地面的距离是．2.A221.B231.C231.D6、如图，1O、2O外切于A点，半径分别为r3、r，P为21OO延长线上一点，作直线分别于1O、2O相切于D、E两点，则P的度数为（）。第4题第5题615.A30.B45.C60.D(武汉市高考题)7、如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心、AB为半径的圆弧外切，则EABsin的值为（）34.A43.B54.C53.D(湖州市中考题)8、两圆的半径分式R和r)(rR，圆心距为d，若关于x的方程0)(222dRrxx有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是（）A.一定内切B.一定外切C.相交D.内切或外切9、如图，P与O相交于A、B两点，P经过圆心O，点C是P的优弧AB上任意一点，（不与A、B点重合），连接AB、AC、BC、OC。（1）指出图中与ACO相等的一个角；(2)当点C在P上什么位置时，直线CA与O相切？请说明理由；（南宁市中考题）710、已知A为O上一点，B为A与OA的交点，A与O的半径分别为r、R，且Rr。（1）如图①，过点B作A的切线与O交于M、N两点。求证：RrANAM2；（2）如图②，若A与O的交点为E、F，C是弧EBF上任意一点，过点C作A的切线与O交于P、Q两点，试问RrAQAP2是否成立，并说明你的结论。（天津市中考题）11、如图，点A、B在直线MN上，cmAB11，A、B的半径均为cm1。A以每秒cm2的速度自左向右运动，B的半径也不断增大，且半径)(cmr与时间t之间的关系为)0(1ttr。（1）试写出A、B之间的距离)(cmd与时间t（秒）之间的函数关系式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？（威海市中考题）能力拓展12、已知半径分别为1和2的两圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为。（全国初中数学联赛试题）13、如图，扇形OAB，90AOB，P与OA、OB分别相切于点E、F，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与P的面积之比是。8（兰州市中考题）14、如图，五个圆顺次相外切，且又都与直线a、b相切，如果其中最小圆与最大圆的直径分别为18和32，那么3O的直径为。（天津市中考题）15、如图，1O的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点2O为正方形ABCD的中心，21OO垂直AB于P点，821OO，若将1O绕点P按顺时针方向旋转360，在旋转过程中，1O与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（）。A.3次B.5次C.6次D.7次（2011年宁波市中考题）16、如图，已知三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线xy33相切，设半圆1C、半圆2C、半圆3C的半径分别是1r、2r、3r，则当,11r3r（）。A.6B.7C.8D.9（2011年南通市中考题）917、已知1O、2O相交于A、B，公共弦AB与连心线21OO交于点G。若AB=48，1O、2O的半径分别为30、40，那么21OAO的面积是（）。A.600B.300或168C.168D.600或168（广东省竞赛题）18、如图，PQ、1PO、QO1分别以1O、2O、3O为圆心的半圆321,,CCC的直径，圆4O内切于半圆1C及外切于半圆32,CC。若24PQ，求圆4O的面积。（第19届香港中学竞赛题）C4C3C2C1PQO1O2O3O419、在ABC中，分别以AB、BC为直径作1O、2O，交于另一点D。（1）证明：交点D必在AC上；（2）如图①，当1O与2O半径之比为4:3时，且2DO与1O相切时，判断ABC的形状，并求DBO2tan的值；（3）如图②，当1O经过点2O,2,DOAB的延长线交于E，且BDBE，求A的度数。（黄石市中考题）1020、如图，点H为ABC的垂心，以AB为直径的1O与BCH的外接圆2O相交于点P。求证：P为CH的中点。（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛题）综合创新21、如图，已知1O与2O都过点A，1AO是2OD的切线，1O交21OO于点C，连接CO2。（1）求证：212OOCO；（2）证明：122BOBOBCAB；（3）如果,4,122COBCAB求1AO的长。（十堰市中考题）1122、如图，已知B、C的半径不等，且外切于点A，不过A的一条公切线切B于D，切C于E，直线DEAF，且与BC的垂直平分线交于F。求证：AFBC2.（英国数学奥林匹克试题）FBCHAED