数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲-几何最值

例2第22讲几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。例题求解【例1】如图，在锐角ABC中，24AB，45BAC，BAC的平分线交BC于点D，点M、N分别是AD和AB上的动点，则BNBM的最小值。（陕西省中考题）思路点拨画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。【例2】如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF的最小值（）。A.24B.4.75C.5D4.8（兰州市中考题）思路点拨设O与AB相切与T，连OC、OT,EF为O直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT的最小值。【例3】如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm.(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值；例1(2)当41ycm时，求x的值.（河南省中考题）思路点拨利用相似形建立y与x的函数关系式，由此导出y的最大值【例4】如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b（ab）,P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q，求AP=BQ的最小值.（永州市竞赛题）思路点拨设AP=x，把AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式abba222或abba2（当且仅当a=b时取等号）来求最小值.【例5】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC、AD的延长线交于P，求AB·S△PAB的最小值.图形折叠【例6】在等腰ABC中，AB=AC=5，BC=6.动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN//BC，将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P.（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？（2）设xMN，MNP与等腰ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式.当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？.（2011年宁夏中考题）例3例4例5第1题学力训练基础夯实1．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______。（荆门市中考题）2．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是________。（烟台市中考题）例6第2题3．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ．当点A在BC边上移动时，折叠的端点P、Q也随之移动。若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为_______。（河南省中考题）4．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC,AD=DC=4，BC=8。点N在上，CN=2,E是AB中点，在AC上找一点M，使EM+MN的值最小，此时最小值一定等于（）。A.6B.8C.4D.34（呼和浩特市中考题）5．如图，在等腰ABCRT中，90C，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）。A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤（重庆市中考题）6．如图，已知A(-3,0)，b(0,-4)，P为双曲线xy12（0x）上任意一点，过P作PC⊥X轴于C点，PD⊥Y轴于D点，则四边形ABCD面积的最小值为（）。A.22B.23C.24D.26（杭州市中考题）7．如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC•CD=PC•BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．（荆门市中考题）第3题第4题第5题第6题第7题8.工程师有一块长AD为12分米，宽AB为8分米的铁板，截去了长AE=2分米，AF=4分米的直角三角形，在余下的五边形中结的矩形MGCH，M必须在线段EF上．（1）若截得矩形MGCH的面积为70平方分米，求矩形MGCH的长和宽．（2）当EM为多少时，矩形MGCH的面积最大？并求此时矩形的周长．（鄂州市中考题）能力拓展第8题9．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是___________。（“新知杯”上海市竞赛题）10．如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是_______________。（潍坊市中考题）11．如图，已知矩形ABCD中，AB=12，AD=3，E、F分别为AB、DC上的两个动点，则AF+FE+EC的最小值为________。（四川省竞赛题）12．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16，那么AC=______、BD=________时，四边形ABCD面积最大，最大值是_______。（第九届“华杯赛”试题）13．已知△ABC的内切圆半径为r，角A=60°，BC=2根号3，则r的取值范围是______。（第19届江苏省竞赛题）14．如图，△ABC的面积为1，点D、G、E和F分别在边AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB．则梯形DEFG面积的最大可能值为__________。（上海市竞赛题）15．如图，已知∠MON=40°，P是∠MON中的一定点，点A、B分别在射线OM、ON上移动，当△PAB周长最小时，求∠APB的的值为（）A.80°B.100°C.120°D.140°（武汉市竞赛题）第9题第10题第11题（第13题）第14题第15题16．直线0)1483()52(:yxyxml被以）（0,1A为圆心、2为半径的圆A所截的最短弦长为（）A.2B.3C.22D.32（2011年武汉市中考题）17．如图.y的正半轴上有两点A(0，a)，B（0，b），其中ba0，在x轴正半轴上取点C，使角ACB最大，求C坐标.（河北省竞赛题）18．如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，使得△CMN的周长为2.求：（1）∠MAN的大小；（2）△MAN面积的最小值．（“宇振杯”上海市竞赛题）综合创新19．如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点．思考如图1，圆心为0的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α．当α=度时，点P到CD的距离最小，最小值为．探究一在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=度，此时点N到CD的距离是．探究二将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转．（1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；（2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值第18题范围．(参考数据：4337tan,4341cos4349sin，）20．如图，在正方形ABCD内，已知两个动圆⊙O1与⊙O2互相外切，且⊙O1与边AB、AD相切，⊙O2与边BC、CD相切．若正方形ABCD的边长为1，⊙O1与⊙O2的半径分别为r1，r2．①求r1与r2的关系式；②求⊙O1与⊙O2面积之和的最小值．（Ⅱ）如图2，若将（Ⅰ）中的正方形ABCD改为一个宽为1，长为23的矩形，其他条件不变，则⊙O1与⊙O2面积的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．（天津市竞赛题）第19题第20题