数学培优竞赛新方法(九年级)-第24讲-三角形的四心

1GEFDCBAICBAOCBAHFEDCBA第24讲三角形的四心几何是数学中的这样一部分，其中视觉思维占主导地位，几何直觉是增强数学理解力的有效途径，而且他可以使人增加勇气，提高修养。------阿蒂亚知识纵横重心、外心、内心、垂心统称为三角形的“四心”，由于三角形的四心处在特殊的位置上，因而它们是具有丰富而独特的性质，这些性质是解与四心相关问题的基础。（1）重心三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。如图，设G是ABC的重心，则;21GCGFGBGEGAGD.31ABCABGAGCBGCSSSS（2）外心三角形三边的垂直平分线的交点叫三角形的外心。如图，设O是ABC的外心，则;OCOBOA,2,2ABCAOCBACBOC.2ACBAOB（2）内心三角形三条角平分线的交点叫三角形的内心。如图，设O是ABC的内心，则I到三角形各边距离相等；,2190,2190BCIAABICOO.2190CAIBO（3）垂心三角形三边的高所在直线的交点叫三角形的垂心。如图，设H是ABC的垂心，则;,,ABCHACBHBCAH;;;FECBDHECFHDBEHFA、、、；、、、、、、、、、2OEDCBAEDBADFAC、、、、、、;共六组四点共圆。例题求解【例1】如图，ABC中，cABbACaBC,,．若BCAC、上的中线ADBE、垂直相交于点O，则C可用ba、的代数式表示为。（第19届江苏省竞赛题）思路点拨设，yOExOD,则由重心性质有；yBOxAO2,2建立yx、的方程组。【例2】已知点I是锐角三角形ABC的内心，111CBA、、分别是点I关于边ABCABC、、的对称点，若点B在111CBA的外接圆上，则ABC等于．()A.36B.45C.60D.90（“CASIO杯”全国初中数学竞赛题）思路点拨由rICIBIA2111（r为ABC的内切圆半径），得I同时是111CBA外接圆的圆心。【例3】已知OCDEACE90，点B在CE上，CDCBCA，经DCA、、三点的圆交AB于F（如图）．求证：F为CDE的内心．思路点拨连DFCF、，即需证F为CDE角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明3GFEOPDCBA【例4】如图所示,CDBCAB、、分别与圆相切于点CDBCABGFE、、、，连结AC与BD交于P，连结PF.求证：BCPF（江苏省竞赛题）思路点拨设圆心为O，证明O是PBC的垂心，则BCPO，由切线性质得；PO一定通过切点F【例5】如图，已知ABCRT中，CD是斜边AB上的高，21OOO、、分别是BCDACDABC、、的内心。求证：（1）;21CODO（2）210OOC.（武汉市竞赛题）分析在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，故通过证交角等于O90的方法证两线垂直，再用全等三角形证两线段相等。4HFEDCBAHFEDCBA欧拉线【例6】求证：（1）三角形的一个顶点到垂心得距离，是外心到对边距离的2倍（2）三角形的垂心、重心、外心在一条直线上，且垂心到重心的距离是外心到重心的距离的2倍。学习训练基础夯实1.如图，□ABCD中，E是AB的中点，12910DEACAB，，,则□ABCD的面积为。2.如图，D是ABC的内心，E是ABD的内心，F是BDE的内心．若BFE的度数为整数，则BFE的最小度数为。3.如图，从圆外一点P作⊙O的两条切线PBPA,，连POAB,，设PO交⊙O于点C，则C点是ABD的心.（第1题）（第2题）（第3题）4.如图，CD是ABCRt的斜边AD上的高，21II、分别是BDCADC、的内心，若43BCAB，,则21II=。5.如图，锐角三ABC的垂心为H，三条高的垂足为FED、、则H是DEF的（）A.垂心B.重心C.内心D.外心6.如图，设锐角ABCCFBEAD、、的三条高线相交于H，若cABbACaBC,,，则CFCHBEBHADAH的值为（）A.)(21acbcabB.）（22221cbaC.）（cabcab32D.）（22232cbaGEDCBA5IEDCBA（第4题）（第5题）（第6题）7.已知锐角ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则A的度数是（）.A.O30B.O45C.060D.075(全国初中数学竞联赛题)ABC内接于⊙O，BCAD于点D，ACBE于点E，8.如图，BEAD、相交于点H．若46AHBC、，则⊙O的半径为（）B.132C.13D.211A.5（2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）9.如图，设AD是ABD的中线，ADCABD、的外心分别为FE、,直线BE与CF交于点G，若BCDG21，求证ACGADG2.（“我爱数学”夏令营竞赛题）CDBEFGA能力拓展10.如图，设CFBEAD、、为三角形的三条高，若356EFBCAB，，，则BE=.（第10题）（第11题）11.如图，ABC中，987CABCAB，，，ABC的内切圆圆心I作BCDE//，DE=.分别与ACAB、相较于ED、，则（全国初中数学竞赛试题）12.若锐角ABC的三边比是cba::，它的外心O到三边的距离分别为pnm,,，则pnm::等于（）。A.cba1:1:1B.cba::6IMFEDCBAC.CBAcos:cos:cosD.CBAsin:sin:sin13.如果一个三角形的面积和周长都被同一条直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心14.如图，ABC的三条中线CFBEAD、、的长分别是13,12,5，求ABC的面积。15.如图，已知I是ABC的内心，CIBIAI、、的延长线分别交ABC的外接圆于EFFD,、交AD于M求证：ADEF（第22届加拿大奥林匹克试题）综合创新16.锐角三ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长COBOAO、、，分别与对边CABC、、AB交于FED、、.证明：RCFBEAD2111.7OEO1FCDBA(江西竞赛题)17.如图，在□ABCD中，A的平分线分别与BC及DC的延长线交于点FE、.点1,OO分别为CEF、ABE的外心.（1）求证：1OEO、、三点共线.（2）求证：ABCOBD21（全国初中数学联赛题）