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第22讲┃相似三角形及其应用第22讲┃考点聚焦考点聚焦考点1相似图形的有关概念相似图形形状相同的图形称为相似图形相似多边形定义如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似相似比相似多边形对应边的比称为相似比k相似三角形两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似．当相似比k＝1时，两个三角形全等第22讲┃考点聚焦考点2比例线段定义防错提醒比例线段对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即____________，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段求两条线段的比时，对这两条线段要用同一长度单位黄金分割在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金比为________一条线段的黄金分割点有______个a∶b＝c∶d0.618两考点3平行线分线段成比例定理第22讲┃考点聚焦定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比___________推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段的比________相等相等考点4相似三角形的判定第22讲┃考点聚焦判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________判定定理2如果两个三角形的三组对应边的________相等，那么这两个三角形相似判定定理3如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且____________相等，那么这两个三角形相似判定定理4如果一个三角形的两个角与另一个三角形的____________，那么这两个三角形相似拓展直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似相似比相应的夹角两个角对应相等考点5相似三角形及相似多边形的性质第22讲┃考点聚焦三角形(1)相似三角形周长的比等于相似比(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比相似多边形(1)相似多边形周长的比等于相似比(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方考点6位似第22讲┃考点聚焦位似图形定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点间连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位形中心位似与相似关系位似是一种特殊的相似，构成位似的两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行位似图形的性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于________；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于________点；(3)位似图形对应边______(或在一条直线上)；(4)位似图形对应角相等相似比一平行第22讲┃考点聚焦以坐标原点为中心的位似变换在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于________位似作图(1)确定位似中心O；(2)连接图形各顶点与位似中心O的线段(或延长线)；(3)按照相似比取点；(4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形驾校一点通365网驾校一点通2016科目一科目四驾驶员理论考试网科目一考试科目四考试考点7相似三角形的应用第22讲┃考点聚焦几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影，平行线，标杆等构造相似三角形求解；(2)测量底部可以达到的物体的高度；(3)测量底部不可以到达的物体的高度；(4)测量不可以达到的河的宽度第22讲┃归类示例归类示例►类型之一比例线段命题角度：1.比例线段；2.黄金分割在实际生活中的应用；3.平行线分线段成比例定理．例1[2011·肇庆]如图22－1，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝()A．7B．7.5C．8D．8.5B图22－1第22讲┃归类示例[解析]因为a∥b∥c，所以ACCE＝BDDF，∴46＝3DF，DF＝4.5，BF＝7.5.►类型之二相似三角形的性质及其应用命题角度：1.利用相似三角形性质求角的度数或线段的长度；2.利用相似三角形性质探求比值关系．第22讲┃归类示例例2[2011·怀化]如图22－2，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1)求证：；(2)求这个矩形EFGH的周长．第22讲┃归类示例图22－2第22讲┃归类示例[解析](1)证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论．(2)设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中的结论求解．解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH.∴∠AHG＝∠ABC.又∵∠HAG＝∠BAC，∴△AHG∽△ABC，∴AMAD＝HGBC.(2)由(1)得AMAD＝HGBC.设HE＝x，则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x.可得30－x30＝2x40，解得x＝12，2x＝24.所以矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．►类型之三三角形相似的判定方法及其应用例3[2012·凉山州]如图22－3，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)求EF的长．第22讲┃归类示例命题角度：1．利用两个角判定三角形相似；2．利用两边及夹角判定三角形相似；3．利用三边判定三角形相似.图22－3第22讲┃归类示例[解析](1)由四边形ABCD是矩形，易得∠A＝∠D＝90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF＝∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF；(2)由(1)△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BEEF＝ABDE，又由AB＝6，AD＝12，AE＝8，利用勾股定理求得BE的长，由DE＝AD－AE，求得DE的长，继而求得EF的长．第22讲┃归类示例解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°.∵EF⊥BE，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF；(2)∵△ABE∽△DEF，∴BEEF＝ABDE.∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，∴BE＝AB2＋AE2＝10，DE＝AD－AE＝12－8＝4，∴10EF＝64，解得EF＝203.第22讲┃归类示例判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．►类型之四位似例4[2012·玉林]如图22－5，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝3√2，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是()第22讲┃归类示例命题角度：1.位似图形及位似中心定义；2.位似图形的性质应用；3.利用位似变换在网格纸里作图．图22－5B第22讲┃归类示例[解析]延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．∵在正方形ABCD中，AC＝32，∴BC＝AB＝3.延长A′B′交BC于点E，∵点A′的坐标为(1，2)，∴OE＝1，EC＝3－1＝2＝A′E，∴正方形A′B′C′D′的边长为1，∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是13.故选B.►类型之五相似三角形与圆例5[2011·滨州]如图22－6，直线PM切⊙O于点M，直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM，连接OM、BC.求证：(1)△ABC∽△POM；(2)2OA2＝OP·BC.第22讲┃归类示例命题角度：1.圆中的相似计算；2.圆中的相似证明．图22－6第22讲┃归类示例[解析](1)由切线的性质和AB是圆的直径，得出直角∠PMO＝90°，∠ACB＝90°.(2)利用第一问的结论和AB＝2OA可以得出结论．第22讲┃归类示例证明：(1)∵直线PM切⊙O于点M，∴∠PMO＝90°.∵弦AB是直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ACB＝∠PMO.∵AC∥PM,∴∠CAB＝∠P，∴△ABC∽△POM.(2)∵△ABC∽△POM,∴ABPO＝BCOM.又AB＝2OA，OA＝OM,∴2OAPO＝BCOA.∴2OA2＝OP·BC.第22讲┃归类示例证明等积式的常用方法是把等积式转化为比例式，要证明比例式，就要证明三角形相似．证明圆中相似要充分运用切线性质，圆周角定理及推论，垂径定理等．第22讲┃回归教材“直角三角形斜边上的高”的模型作用回归教材教材母题人教版九下P48练习T2如图22－7，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都和△ABC相似吗？证明你的结论．图22－7第22讲┃回归教材解：相似．证明：∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠A＝∠BCD.又∵∠ACB＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△CBD.∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC，∴△ABC∽△ACD.第22讲┃回归教材中考变式1．[2010·达州]如图22－8，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有________．图22－8①②④第22讲┃回归教材2．[2012·北京]如图22－9，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m.图22－95.5第22讲┃回归教材[解析]∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB，∴BCEF＝DCDE.∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝8m，∴BC0.2＝80.4，∴BC＝4m，∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m)，故答案为5.5.