牛顿—欧拉方程

牛顿-欧拉方程欧拉方程(Eulerequations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于1750年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：𝛺⃗𝑏̇=𝐼𝑏−1[𝑀⃗⃗𝑏−𝛺⃗𝑏×(I𝑏𝛺⃗𝑏)]该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时刚体所受外力矩𝑀与角加速度𝛺′的关系式，大多时候可简写成:𝛺𝑥′=[𝑀𝑥+(𝐼𝑦𝑦−𝐼𝑧𝑧)𝛺𝑦𝛺𝑥]/𝐼𝑥𝑥𝛺𝑦′=[𝑀𝑦+(𝐼𝑧𝑧−𝐼𝑥𝑥)𝛺𝑥𝛺𝑧]/𝐼𝑦𝑦𝛺𝑥′=[𝑀𝑧+(𝐼𝑧𝑧−𝐼𝑦𝑦)𝛺𝑥𝛺𝑦]/𝐼𝑧𝑧其中，𝑀𝑥,𝑀𝑦,𝑀𝑧分别为刚体坐标系𝑆𝑏下三个轴的所受的外力矩，𝐼𝑥𝑥,𝐼𝑦𝑦,𝐼𝑧𝑧分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下𝑆𝑏)。欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Eulerequations)：𝐹(𝑡)=𝑚𝑎(𝑡)𝑀⃗⃗𝑏=𝛺⃗𝑏×(I𝑏𝛺⃗𝑏)+I𝑏𝛺⃗𝑏̇这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。1.单质点角动量定理质点旋转时，有动量定理：𝐹=𝑑(𝑚𝑣)𝑑𝑡对两边叉乘质点位置矢量𝑟：𝑟×𝐹=𝑟×𝑑(𝑚𝑣)𝑑𝑡观察：𝑑(𝑟×𝑚𝑣)𝑑𝑡=𝑟×𝑑(𝑚𝑣)𝑑𝑡+𝑑𝑟𝑑𝑡×𝑚𝑣因为：𝑑𝑟𝑑𝑡×𝑚𝑣=𝑣×𝑚𝑣=0故有：𝑑(𝑟×𝑚𝑣)𝑑𝑡=𝑟×𝑑(𝑚𝑣)𝑑𝑡𝑟×𝐹=𝑑(𝑟×𝑚𝑣)𝑑𝑡定义角动量𝐿⃗=𝑟×𝑚𝑣，可以看出𝑟×𝐹为外力矩𝑀⃗⃗故有单质点的角动量定理：𝑀⃗⃗=𝑑𝐿⃗𝑑𝑡2.刚体的角动量定理定义刚体的角动量为：𝐿⃗𝐺=∫𝐿⃗𝑖𝑑𝑚其中：𝐿⃗𝐺下标G表示该向量为大地坐标系𝑆𝐺下的，𝐿⃗𝑖的下标i表示该向量为大地坐标𝑆𝐺下各个质量元的向量。刚体旋转运动参考的惯性系是大地坐标系𝑆𝐺，不能把采用刚体的本身坐标系𝑆𝑏作为参考系，本身坐标系𝑆𝑏的提出只是方便我们某些量的分析与表述，如角速度𝛺⃗𝑏、惯性张量I𝑏。(这里需要特别说明的是因为刚体质量分布不均匀的原因，角动量的方向往往不与刚体角速度方向一致，这也是无力矩进动的原因，即很多时候刚体角速度不守恒但刚体的角动量守恒了，宏观来看就是因为要保证角动量和动量守恒所以才要产生内力作用使角速度变化达到守恒的效果。)由牛顿第三定律易知内力矩产生的角动量变化相抵，故有刚体的角动量定理：𝑀⃗⃗𝐺=𝑑𝐿⃗𝐺𝑑𝑡其中：𝑀⃗⃗𝐺为外力矩𝐿⃗𝐺=∫𝐿⃗𝑖𝑑𝑚=∫(𝑟𝐺×𝑣𝐺)𝑑𝑚=∫(𝑟𝐺×(𝛺⃗𝐺×𝑟𝐺))𝑑𝑚把上式展开有：𝐿⃗𝐺=I𝐺𝛺⃗𝐺其中：I𝐺称为惯性矩阵I𝐺≝[𝐼𝑥𝑥𝐼𝑥𝑦𝐼𝑥𝑧𝐼𝑦𝑥𝐼𝑦𝑦𝐼𝑦𝑧𝐼𝑧𝑥𝐼𝑧𝑦𝐼𝑧𝑧]𝐼𝑥𝑥≝∫𝑦2+𝑧2𝑑𝑚𝐼𝑦𝑦≝∫𝑥2+𝑧2𝑑𝑚𝐼𝑧𝑧≝∫𝑥2+𝑦2𝑑𝑚𝐼𝑥𝑦=𝐼𝑦𝑥≝−∫𝑥𝑦𝑑𝑚𝐼𝑦𝑧=𝐼𝑧𝑦≝−∫𝑦𝑧𝑑𝑚𝐼𝑧𝑥=𝐼𝑥𝑧≝−∫𝑧𝑥𝑑𝑚刚体旋转时，I𝐺是变化的，但刚体在刚体坐标系下𝑆𝑏的惯性矩阵I𝑏不会变，且容易分析得到：I𝐺=RI𝑏R𝑇其中：R为刚体坐标系下𝑆𝑏到大地坐标系𝑆𝐺的旋转矩阵。3.欧拉方程的证明在先证欧拉方程前，先给出几个刚体坐标系𝑆𝑏下的向量：外力矩：𝑀⃗⃗𝑏；惯性矩阵：I𝑏；角速度：𝛺⃗𝑏𝑀⃗⃗𝐺=𝑑𝐿⃗𝐺𝑑𝑡=𝑑(I𝐺𝛺⃗𝐺)𝑑𝑡引入刚体坐标系的向量：𝑅𝑀⃗⃗𝑏=𝑑((RI𝑏𝑅𝑇)(𝑅𝛺⃗𝑏)𝑑𝑡旋转运动时：旋转矩阵𝑅，刚体角速度𝛺⃗𝑏都为变量，只有I𝑏为不变量。故上式为：𝑅(𝑡)𝑀⃗⃗𝑏=𝑅̇(𝑡)I𝑏𝛺⃗𝑏+R(t)I𝑏𝛺⃗𝑏̇𝑅(𝑡)𝑀⃗⃗𝑏=𝑅(𝑡)𝛺⃗𝑏×(I𝑏𝛺⃗𝑏)+R(t)I𝑏𝛺⃗𝑏̇两边乘上𝑅𝑇为：𝑀⃗⃗𝑏=𝛺⃗𝑏×(I𝑏𝛺⃗𝑏)+I𝑏𝛺⃗𝑏̇𝛺⃗𝑏̇=𝐼𝑏−1[𝑀⃗⃗𝑏−𝛺⃗𝑏×(I𝑏𝛺⃗𝑏)]该式中所有量都为刚体坐标系𝑆𝑏的量，展开即为欧拉方程，𝐼𝑥𝑦,𝐼𝑥𝑦,𝐼𝑧𝑥都为0时即为前面所给出的欧拉方程，称为局部坐标系的欧拉方程。