高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．2.已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．解：∵A∪B=A∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或21或∴C={0，1，2}3。已知mA,nB,且集合A=Zaaxx,2|，B=Zaaxx,12|，又C=Zaaxx,14|，则有：m+n新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(填A,B,C中的一个)解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z,又∵nB,∴n=2a2+1,a2Z,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2Z,∴m+nB。4已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋12p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．5已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－21．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.6设A是实数集，满足若a∈A，则a11A，1a且1A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－a1∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A－1∈A21∈A2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A为单元素集合，则a＝a11即12aa＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈Aa11∈Aa1111∈A111aaA，即1－a1∈A⑷由⑶知a∈A时，a11∈A，1－a1∈A.现在证明a,1－a1,a11三数互不相等.①若a=a11,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠a11②若a=1－a1，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－a1③若1－a1=a11，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a1≠a11.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.7设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；（2）从M到N的映射满足f(a)f(b)≥f(c),试确定这样的映射f的种数.解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个0222,2,2,0,0,2220aaaabbbbcccc8.已知函数()fx的定义域为[0，1]，求函数(1)fx的定义域解：由于函数()fx的定义域为[0，1]，即01x∴(1)fx满足011x10x，∴(1)fx的定义域是[－1，0]9根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知()fx是二次函数，若(0)0,(1)()1ffxfxx，求()fx.（2）已知(1)2fxxx，求()fx（3）若()fx满足1()2(),fxfaxx求()fx解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设()fx＝2(0)axbxca由于(0)0f得2()fxaxbx，又由(1)()1fxfxx，∴22(1)(1)1axbxaxbxx即22(2)(1)1axabxabaxbx211021abbaabab因此：()fx＝21122xx(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设22()(1)2(1)1(1)fuuuuu∴()fx＝21x（1x）（3）由于()fx为抽象函数，可以用消参法求解用1x代x可得：11()2(),ffxaxx与1()2()fxfaxx联列可消去1()fx得：()fx＝233aaxx.点评：求函数解析式（1）若已知函数()fx的类型，常采用待定系数法；（2）若已知[()]fgx表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.10已知xyx62322，试求22yx的最大值.分析：要求22yx的最大值，由已知条件很快将22yx变为一元二次函数,29)3(21)(2xxf然后求极值点的x值，联系到02y，这一条件，既快又准地求出最大值.解由xyx62322得.20,0323,0.3232222xxxyxxy又,29)3(2132322222xxxxyx当2x时，22yx有最大值，最大值为.429)32(212点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：由xyx62322得,32322xxy1(0),1(1)uxxxuu,29)3(2132322222xxxxyx当3x时，22yx取最大值，最大值为29这种解法由于忽略了02y这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题..11设()fx是R上的函数，且满足(0)1,f并且对任意的实数,xy都有()()(21)fxyfxyxy，求()fx的表达式.解法一：由(0)1,f()()(21)fxyfxyxy，设xy，得(0)()(21)ffxxxx，所以()fx＝21xx解法二：令0x，得(0)(0)(1)fyfyy即()1(1)fyyy又将y用x代换到上式中得()fx＝21xx点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定.12判断函数1()(1)1xfxxx的奇偶性.解：1()(1)1xfxxx有意义时必须满足10111xxx即函数的定义域是｛x｜11x｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数13判断22()log(1)fxxx的奇偶性.正解：方法一：∵)1(log)1)((log)(2222xxxxxf＝11log22xx＝)1(log22xx＝－)(xf∴)(xf是奇函数方法二：∵)1(log)1(log)()(2222xxxxxfxf＝01log)1()1[(log2222xxxx)()(xfxf∴)(xf是奇函数14函数y=245xx的单调增区间是_________.解：y=245xx的定义域是[5,1]，又2()54gxxx在区间[5,2]上增函数，在区间[2,1]是减函数，所以y=245xx的增区间是[5,2]15已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)0,求x的取值范围.解：由66603333332xxxx得,故0x6,又∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)－f(x2－3)=f(3－x2),又f(x)在(－3，3)上是减函数，∴x－33－x2,即x2+x－60,解得x2或x－3,综上得2x6,即A={x|2x6},16作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)|lg|10xy.分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x≥2时，即x-2≥0时，当x＜2时，即x-2＜0时，所以)2(49)21()2(49)21(22xxxxy这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x；当0＜x＜1时，lgx＜0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.17若f(x)=21xax在区间（－2，＋）上是增函数，求a的取值范围解：设12121212112,()()22axaxxxfxfxxx12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)axxaxxxxaxxaxxaxxaxxxxaxxaxxaxxxxxx由f(x)=21xax在区间（－2，＋）上是增函数得12()()0fxfx210a∴a＞21点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.18已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(21)=－1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(xyyx1),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xyyx1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21xxx)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)＋f(－x1)=f(21121xxxx)∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴21121xxxx0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0∴x2－x11－x2x1,∴012121xxxx1,