高等数学课件2-1数列的极限

二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第一节数列的极限1数列:自变量取正整数的函数,记作或称为通项(一般项).例如,,1,,43,32,21nn“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”2、割圆术：——刘徽极限概念的引入1、庄子天下篇：一尺之棰，日取其半，万世不竭.边形的面积表示内接正设nnA2312123sin23nnr3210,,,AAAA于是得到一列数引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积S.依次作圆内接正当n无限增大时,无限逼近S)(时当为极限以称数列nSAn？能否无限接近某个常数无限增大时，当nxn)1(问题：？若能，这个常数是多少)2(一、数列极限(limit)定义2数列极限:的极限就称为数列这个常数，能无限接近某个常数无限增大时，若当}{nnxaaxnaxnnlim记作：.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn数列极限的精确定义当nN时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:aa)(axan)(Nn即),(axn)(Nnaxnnlim或)(naxn1Nx2Nx则称该数列的极限为a,的接近程度与是任意给定的，刻划注：axn)1(充分大的程度，刻划但不唯一依赖nN)()2(例如,,1,,43,32,21nn1nnxn)(1nnnxnn1)1()(1n,2,,8,4,2nnnx2)(n1)1(nnx趋势不定收敛发散例1.已知证明数列的极限为1.Proof:1nx1)1(nnn,0欲使即只要1n因此,取,]1[N则当Nn时,就有1)1(nnn故1)1(limlimnnxnnnn例2.已知证明证:0nx2)1(1n11n,)1,0(欲使只要,11n即n取,]11[N则当Nn时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn故也可取][1N也可由2)1(10nnx.11N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.Remark:取11N例3.设,1q证明等比数列证:0nx欲使只要即亦即因此,取qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.23ba22abnabax二、收敛数列的性质证:用反证法.及且.ba取因,limaxnn故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn故存在N2,使当nN2时,有2banx1.收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN取故假设不真!nx满足的不等式例4.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列nx收敛,则有唯一极限a存在.取,21则存在N,2121axan但因nx交替取值1与－1,),(2121aa内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当nN时,有因此该数列发散.2.收敛数列一定有界.证:设取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽有界但不收敛.,1axn有数列3.收敛数列的保号性.若且时,有,)0(.)0(证:对a0,取推论1:推论2:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)推论3:(用反证法证明)4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.例如，1lim2kkx发散!则判断原数列发散的方法.Note:方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.定理:CONCLUSIONS1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对!此处nnxlim当nN时,总有使得一、利用数列极限的定义证明:1、231213limnnn；2、19....999.0limn二、设数列nx有界，又0limnny，证明：0limnnnyx.练习题