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一诺一诺一诺一诺整理整理整理整理高等数学高等数学课后习题答案课后习题答案（上海交大版）（上海交大版）（上海交大版）（上海交大版）://://://第一章函数1．设2()1fxx=+，求[]22()()fxfx、。解答：2224()()11fxxx=+=+,[]22242()[1]21fxxxx=+=++。所属章节：第一章第一节难度：一级2．设ee()xxabfxab−+=+，求()()fxfx+−。解答：ee()xxabfxab−+=+，()eeee()xxxxababfxabab−−−−++−==++，()eeee()()xxxxxxababfxfxeeabab−−−−−+++−=+=+++。所属章节：第一章第一节难度：一级3．设210,()201,113,xxxxxxϕ⎧−≤⎪=≤⎨⎪−≤⎩求1(3),(2),(0),()2ϕϕϕϕ−。解答：11(3)2,(2)1,(0)1,()22ϕϕϕϕ====。所属章节：第一章第一节难度：一级4．求下列函数的定义域：（1）2232xyxx=−+；（2）11log21axyx+=−，(0,1)aa≠；（3）12lg(1)yxx=++−；（4）323arcsin5xyx−=−+.解答：（1）由2320xx−+≠解得定义域为()()(),11,22,−∞+∞UU；（2）由110,01xxx+−≠−解得定义域为()1,1−；（3）由20,10,11xxx+≥−−≠解得定义域为[)()2,00,1−U；（4）由3230,15xx−−≥≤解得定义域为[1,3]−。所属章节：第一章第一节难度：一级5．下列各题中，函数f(x)与g(x)是否相同？（1）2()lgfxx=，()2lggxx=；（2）()fxx=，2()gxx=；（3）ln()exfx=，()gxx=.解答：（1）()fx中的x可为一切实数，()gx中的x要求大于零，即定义域不同，故函数不同；（2）()fx将负数对应负数，而()gx把负数对应正数，对应法则不同，故函数不同；（3）()fx中的x要求大于零，()gx中的x可为一切实数，即定义域不同，故函数不同。所属章节：第一章第一节难度：一级6．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是非奇非偶函数？（1）22(1)yxx=−；（2）233yxx=−；（3）1log(0,1)1axyaax−=≠+；（4）ee2xxy−+=；（5）2cos1yxx=+；（6）2ln(1)yxx=++.解答：（1）偶；（2）非奇非偶；（3）奇；（4）偶；（5）偶；（6）奇所属章节：第一章第一节难度：一级7．下列函数中哪些是周期函数？对于周期函数指出其周期T：（1）1tanyx=+；（2）cos(31)yx=+；（3）sinyxx=；（4）2sinyx=.解答：（1）周期，且T=π；（2）周期，23T=π；（3）非周期；（4）利用等式211sincos222yxx==−知为周期函数，周期T=π所属章节：第一章第一节难度：一级8．求下列函数的反函数：（1）22yxx=−；（2）321yx=+；（3）2ln(1)yxx=++；（4）221xxy=+.解答：（1）由22yxx=−，得2(1)1yx=−−，解得11xy=±+。所以当111111yyxyyx≥−=++−=−+时，反函数，当时，反函数；（2）当331111yyxyyx≥=−=−−时，，当时，；（3）由2ln(1)yxx=++，得21yexx=++，故22()1yexx−=+，解得2122yyyyeeexe−−−==，所以反函数为ee2xxy−−=；（4）由221xxy=+解得21xyy=−，即2log1yxy=−，所以反函数为2log1xyx=−。所属章节：第一章第一节难度：二级9．下列初等函数由哪些简单函数复合而成？（1）22yx=−；（2）2cos3yx=；（3）2exy=；（4）lnsin2yx=；（5）2sin(31)yx=+；（6）21arctanexy−=.解答：（1）2,2yuux==−；（2）2cos,3yuux==；（3）2e,uyux==；（4）ln,sin,2yuuvvx===；（5）2,sin,31yuuvvx===+；（6）21arctan,e,vyuuvx===−所属章节：第一章第二节难度：一级10．设()exFx=，证明：（1）()()()FxFyFxy⋅=+；（2）()()()FxFxyFy=−.解答：（1）()()()xyxyFxFyeeeFxy+⋅=⋅==+；（2）()()()xxyyFxeeFxyFye−===−所属章节：第一章第二节难度：一级11．设()ln(1)Fxx=+，证明：2(2)(2)()FxFxFx−−−=.解答：222(2)(2)ln((2)1)ln((2)1)ln(1)ln(1)FxFxxxxx−−−=−+−−+=−−−21lnln(1)()1xxFxx−==+=−所属章节：第一章第二节难度：一级12．设()fx具有性质：()()()fxyfxfy+=+，证明：必有(0)0f=，()()pfxfpx=（p为任意正整数）解答：在()()()fxyfxfy+=+中，令0x=，即得(0)0f=。在()()()fxyfxfy+=+中，令yx=，即得(2)2()fxfx=；在()()()fxyfxfy+=+中，令2yx=，结合上式，即得(3)3()fxfx=；设对正整数k，有()()fkxkfx=，则在()()()fxyfxfy+=+中，令ykx=，结合假设有((1))(1)()fkxkfx+=+，由数学归纳法得证。所属章节：第一章第二节难度：二级13．设()((()))nnfxfffx=⋅⋅⋅1442443次，若()fxabx=+，证明：(1)()(1)1nnnabfxbxbb−=+≠−.解答：当2n=时，2()(())()fxffxababx==++222(1)1abaabbxbxb−=++=+−，即等式成立；设nk=时等式成立，即(1)()1kkkabfxbxb−=+−，则当1nk=+时，11(1)(1)()((()))(())[]11kkkknknababfxfffxffxabbxbxbb++−−=⋅⋅⋅==++=+−−1442443次，即等式也成立，得证。所属章节：第一章第二节难度：二级14．验证下列恒等式：（1）sinh()sinhcoshcoshsinhxyxyxy+=+；（2）cosh()coshcoshsinhsinhxyxyxy+=+；（3）sinhsinh2sinhcosh22xyxyxy+−+=；（4）coshcosh2sinhsinh22xyxyxy+−−=.解答：由定义sinh,cosh22xxxxeeeexx−−−+==，从右往左证明sinhcoshcoshsinh2222xxyyxxyyeeeeeeeexyxy−−−−−++−+=+()sinh()2xyxyeexy+−+−==+，即证得（1）式；类似可证其他三式。所属章节：第一章第二节难度：二级第二章极限与连续1．用“Nε−”定义来验证下列极限：（1）2lim0nn→∞=；（2）323lim212nnn→∞−=+；（3）lim(1)0nnn→∞+−=；（4）2lim1nnnn→∞+=；（5）lim1(0)nnaa→∞=；（6）lim1nnn→∞=.解答：（1）对任意0ε（无论它多么小，下同），要使20nε−，只要24nε，故可取24[1]Nε=+。则对任意0ε，存在24[1]Nε=+，当nN时，20nε−，故由极限定义2lim0nn→∞=。（2）对任意0ε，要使323212nnε−−+，只要7142nε−，故可取71max(,1)42Nε=−。则对任意0ε，存在71max(,1)42Nε=−，当nN时，323721242nnnε−−=++，故由极限定义323lim212nnn→∞−=+。（3）对任意0ε，要使1nnε+−，由于1111nnnnn+−=++，只要21nε，故可取21[1]Nε=+。则对任意0ε，存在21[1]Nε=+，当nN时，1111nnnnnε+−=++，故由极限定义lim(1)0nnn→∞+−=。（4）对任意0ε，要使21nnnε+−，由于22111nnnnnnn+−=++，只要1nε，故可取1[1]Nε=+。则对任意0ε，存在1[1]Nε=+，当nN时，221111nnnnNnnnε+−=++，故由极限定义2lim1nnnn→∞+=。（5）1a=时显然；1a时，记1nnra=−，则(1)nnnarnr=+，对任意0ε，要使1naε−，只要1nnaran=−，即anε，故可取[1]aNε=+，当nN时，1naε−，由极限定义lim1,(1)nnaa→∞=；01a时，类似证明。（6）记1nnrn=−，则2(1)(1)2nnnnnnrr−=+，对任意0ε，要使1nnε−，只要211nnrnn=−−，即221nε+，故可取22[11]Nε=++，当nN时，1nnε−，由极限定义lim1nnn→∞=。所属章节：第二章第一节难度：（1111）—（4444）二级，（5555）----（6666）三级2．若limnnaa→∞=.证明limnnaa→∞=.并举例说明反过来未必成立。解答：对任意0ε，由limnnaa→∞=，存在N，当nN时，naaε−，从而nnaaaaε−≤−，于是由极限定义limnnaa→∞=。反过来未必成立，例如对于(1)nna=−，极限lim1nna→∞=存在，但limnna→∞不存在。所属章节：第二章第一节难度：二级3．解答：没有题目所属章节：难度：4．设数列{}nu，若212lim,limnnnnuaua−→∞→∞==，证明limnnua→∞=.解答：因为212lim,limnnnnuaua−→∞→∞==,所以对任意0ε，存在1N，当122nN时，2nuaε−；存在2N，当22121nN−−时，21nuaε−−；取12max(2,21)NNN=−，则当nN时，nuaε−，因此limnnua→∞=。所属章节：第二章第一节难度：二级5．根据定义验证下列数列为无穷小：（1）211nn−⎧⎫⎨⎬+⎩⎭；（2）2!nn⎧⎫⎨⎬⎩⎭.解答：（1）对任意0ε，由于22122nnnnn−=，取2[1]Nε=+，则当nN时，221222nnnnnNε−=，因此21lim0nnn→∞−=，即数列211nn−⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为无穷小。（2）对任意0ε，由于222224!(1)21nnnnn××××=≤×−×××⋯⋯，取4[1]Nε=+，则当nN时，244!nnnNε≤，因此2lim0!nnn→∞=，即数列2!nn⎧⎫⎨⎬⎩⎭为无穷小。所属章节：第二章第二节难度：二级6．根据定义证明下列数列为无穷大：（1）{}2n；（2）2121nn⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭.解答：（1）对任意的正数0M（无论它多么大，下同），取2[log1]NM=+，则当nN时，222nnNM=，因此lim2nn→∞=∞，即数列{}2n为无穷大；（2）对任意的正数0M，取[31]NM=+，则当nN时，2212133nnnMnn+=+，因此21lim21nnn→∞+=∞+，即数列2121nn⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为无穷大。所属章节：第二章第二节难度：二级7．试举出满足下列要求的数列例子：（1）有界但无极限的数列；（2）无界但非无穷大的数列。解答：（1）(1)nna=−（2）1nnann⎧=⎨⎩偶奇所属章节：第二章第二节难度：二级8．求下列极限：（1）32322341lim352nnnnnn→∞−+−−+；（2）212limnnn→∞++⋅⋅⋅+；（3）1111lim()132435