高等数学预备知识-新生自学内容

高等数学预备知识（新生自学内容）（一）数学归纳法1、适用范围：只适用于证明与正整数n有关的命题.2、证明步骤：（1）证明当n取第一个值0n（例如01n或2等）时,命题成立.（2）假设当kn（0kNkn且）时结论正确,证明当1kn时结论也成立.由这两个步骤,就可以断定命题对于从0n开始的所有正整数n都成立.3、注意：第一步是递推的基础,第二步是递推的根据,两步缺一不可.4、用途：（1）证明代数和或三角恒等式；（2）证明不等式；（3）证明整除性；（4）证几何命题等.数学归纳法的思想类似于多米诺骨牌玩法：第一,要求第一张骨牌被推倒；第二,假如某一张骨牌倒下,要求其后一张骨牌必须跟着倒下.例1、用数学归纳法证明：)1n2)(1n(n61n3212222.证明：（1）当1n时,左边=112,右边=132161,等式成立.（2）假设当kn时,等式成立,即)1k2)(1k(k61k3212222,那么222222)1k()1k2)(1k(k61)1k(k321)6k7k2)(1k(61)]1k(6)1k2(k)[1k(612]1)1k(2][(1)1k)[(1k(61)3k2)(2k)(1k(61故当1kn时等式也成立.根据（1）、（2）可知等式对任何Nn都成立.例2、设)1n(n3221an（Nn）,求证：2)1n(a2n.证明：（1）当1n时,22)11(221a21,不等式成立.(2)假设当kn时（1k时）不等式成立,即有2)1k()1k(k3221a2k那么,)2k)(1k(2)1k()2k)(1k()1k(k3221a21k2]1)1k[(2)2k(2)2k()1k(2)1k(222,即当1kn时不等式也成立.由（1）、（2）可知,不等式对任何Nn都成立.例3．设,,11,11121xxxx),3,2(1111nxxxnnn,证明：nx单调增加.解：（1）∵11x,且),3,2(1111nxxxnnn,∴),3,2,1(0nxn.又∵0211111111112xxxxxx,∴12xx.（2）假设1kkxx成立,则)11()11(111kkkkkkxxxxxx有1111kkkkxxxx0)1)(1(11kkkkxxxx,由（1）、（2）可知,),2,1(1nxxnn,从而nx单调增加.（二）三角函数A三角函数的积化和差公式由正弦加法定理的两式相加减和余弦加法定理的两式相加减可得：三角函数的积化和差公式:1sincos[sin()sin()]21cossin[sin()sin()]21coscos[cos()cos()]21sinsin[cos()cos()]2当时,即为倍角公式.例1、不查表,求sin512cos12的值.解：sin512cos12＝12[sin(51212)＋sin(51212)]=12＋34.或：sin512cos12＝sin(2—12)cos12＝cos212=12(1+cos6)=12＋34.练习:2cos31sin14;cos215cos5;sin70cos20.注：分析三角函数的积化和差公式的整体结构,记忆公式,从公式本身的结构特征上了解积化和差公式的作用.B三角函数的和差化积在积化和差公式中,令=,—=,则=2,=2所以有：sin+sin=2sin2cos2sinsin=2cos2sin2cos+cos=2cos2cos2cos—cos=2sin2sin2叫做三角函数的和差化积公式1+cos=2cos22,1－cos=2sin22等都可看成和差化积的形式.例2、把sin2－sin2化成积的形式.解：原式＝(sin+sin)(sin－sin)＝2sin2cos2·2cos2sin2＝sin(+)sin(—)例3、求.10cos70cos10sin70sin解：sinsincoscoscossincoscos70107010240302403033例4、化1+cot+csc为积的形式.解：原式＝sinsincos1=222222cossin2cossin2cos2=2222sin)cos(cos=44222coscos()sin=2cos(4—2)csc2练习：化1+sin和1+cos+cos+cos(+)为积的形式.(1+sin=2sin(4+2)cos(4—2),1+cos+cos+cos(+)=4cos2cos2cos2)在三角函数的计算和化简中,常要把asin+bcos化为Asin(+)的形式.如：sin+3cos＝2(12sin+32cos)=2(sincos3+sin3cos)=2sin(+3)一般地,设a＝Acos,b=Asin,则asin+bcos=A(sincos+sincos)=Asin(+),其中：A＝ab22,所在象限由a,b的符号决定,由tan=ba可求出的值.（在(—,—2),(—2,2),（0,2），(2,)内的值）例5、将下列各式化为Asin(+)的形式.(1)3sinx4cosx；(2)3cosx4sinx；解：(1)A＝5,tan＝ba=43=1.3333,a0,b0,所以在第IV象限,即=538.故3sinx4cosx=5sin(x538).(2)A＝5,tan＝ba=0.75,a0,b0,所以在第II象限,即=1803652=1438,故3cosx4sinx=5sin(x+1438).C万能公式22222tan1tan2tan222sin;cos;tan.1tan1tan1tan222统称为万能公式它们的特点是统一用tan2来表示sin,cos,tanD一个常用不等式当x为锐角时，sintanxxx即sintanxxxOACxB作单位圆，取圆心角xAOB，∵AOB的面积扇形AOB的面积AOC面积，∴xxxtan2121sin21，b（三）复数A复数的概念一、复数的定义1、虚数单位我们知道方程x2＝－1在实数范围内无解,为了使它有解,我们引进一个新数i,规定i2＝－1,且它能与实数一起进行四则运算.数i叫做虚数单位.因为i2＝－1,所以i3＝—i,i4＝1,i5＝i,i6＝－1,i7＝—i,i8＝1…即i4n＝1,i4n+1＝i,i4n+2＝－1,i4n+3＝－i（nZ）.(—i)2＝－1,即i和—i是－1的两个平方根.我们规定：i0=1,i－m＝mi1（mZ）.例如：i2001＝i,i—5＝ii115=—i.2、纯虚数我们再来看x2＝－4的解,可以看出有两个解2i和－2i.数bi叫做纯虚数,其中bR,且b0.3、虚数考察方程x2+2x+10＝0的解,x等于—1+3i或—1—3i.数a+bi叫做虚数,其中a、bR,且b0.4、复数数a+bi叫做复数,其中a、bR,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.复数集通常用C来表示.虚数集通常用I来表示.C＝RI.)0()0()0(abibbiababia纯虚数虚数无理数分数整数有理数实数复数例题：实数m为何值时,复数(m2—3m—4)+(m2—5m—6)i是（1）实数；（2）纯虚数？解：（1）当b＝0时,复数为实数.即m2—5m—6=0解得m=—1或6.（2）当a=0,且b0时复数为纯虚数.即m2—3m—4=0且m2—3m—40解得m=4.5、复数相等的条件两个复数相等必须是它们的实部和虚部分别相等.二、复数的几何表示法1、用复数直角平面内的点表示复数复数a+bi是由一对有顺序的实数a、b构成,这与直角坐标平面的构成一样.我们规定：直角坐标平面内的横轴为实轴,单位为1,纵轴（不包括原点）为虚轴,单位为i,那么,复数a+bi就可用这样的平面内的点M(a,b)来表示,其中,复数的实部a和虚部b分别是点M的横坐标和纵坐标.我们把表示复数的平面叫做复数直角坐标平面.简称复平面.例题：（1）用复平面内的点表示复数：—3+2i,3i,—2,0,－i,2—3i.（2）复平面内的点M(2,3);N(—3,—4);P(—3,0);Q(0,—2)各表示什么复数？解：略.2、用向量表示复数如果复平面内的点M表示复数a+bi,连结原点O与M点,并且把OOxyM:a+bibOxyrM:a+biaa看作线段OM的起点,M点作为终点,那么线段OM就是一条有方向的线段,这样的一条线段叫做向量.记作OM.可以看出：复数a+bi点M(a,b)向量OM.向量OM的长度叫做复数a+bi的模,记作a+bi.显然a+bi=ab22.例如：－1+3i=2.由x轴的正半轴到向量OM的角叫做复数a+bi的幅角.它指出了向量OM的方向.一个不等于0的复数a+bi的幅角有无穷多个,它们的弧度数彼此相差2的整数倍,我们把幅角在[0,2)内的值叫做幅角的主值，但在高等数学中，我们常用(,]范围内的角。当点M与原点O重合时,叫做零向量.它没有幅角.复数a+bi（a0）的幅角由公式tanba得到,其中所在的象限由点（a,b）所在的象限决定.两个复数不能比较大小,但它们的模可以比较大小.三、共轭复数如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数,那么这两个复数叫做共轭复数.例如,3+2i与3－2i.显然,两个共轭复数的模相等,幅角主值的和为2.B复数的四则运算一、复数的加法和减法复数进行加减法就是实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.即(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i例如：(5—6i)+(—2—i)—(3+4i)=—11i复数a+bi和c+di的加减法,也可以在复平面内用向量的方法来进行.二、复数的乘法和除法(a+bi)(c+di)=(ac—bd)+(bc+ad)i例如：(a—bi)(a+bi)=a2+b2(1—2i)(3+4i)(11+2i)=125abicdiabicdicdicdiacbdcdbcadcdi()()()()2222例如：(1+2i)÷(3—4i)=—15+25i；()()11221100100iii.三、负数的二次方根若a0,则负数－a的二次方根aai.当0时,方程ax2＋bx+c=0(a0)的复数解为xbacbia422.例题：解方程x2+2x+10=0xOM(a,b)N(c,d)P(a+c,b+d)y解：由于0,x=236226213ii.C复数的三角形式知道复数的实部和虚部就可以确定一个复数；同样,知道复数的模和幅角主值也可以确定一个复数,即实部、虚部与模、幅角主值之间存在对应关系.设复数a+bi的模为r,幅角主值为.从复平面上可以看出,sincosrbra或abtbartan22r=rcos+risin=r(cos+isin),角所在的象限即点M(a,b)所在象限.r(cos+isin)叫做复数的三角形式.其中可以是角度