高等数理统计答案――茆诗松

pênÚOÜ©‰Y)ÛLXJ2014c1225FpênÚO(1‡)AdvancedMathematicalStatistics——+˜t·9ž¡9?Í12014年12月31日高等统计学:1.18-数据科学网:_1.181/2高等统计学:1.18来自数据科学网习题1.18定义在上用密度函数表示的概率分布称为一般分布，其中称为位置参数，称为尺度参数，称为自由度.证明：习题解答（1）数学期望：因为上式右边第一项被积函数为奇函数，从而该项为0.因此（2）方差：令,则上式表示为对于上式右端第二项，由(R,)BRp(x；μ,,ν)=[1+(σ2Γ()ν+12Γ()σν2νπ−−−√1νx−μσ)2]−ν+12tμ∈Rσ0ν0E(X)=μ,ν1Var(X)=,ν2νσ2ν−2E（X）=xp(x；μ,,ν)dx∫∞−∞σ2=（x−μ）[1+(d（x−μ）+μ[1+(dx∫∞−∞Γ()ν+12Γ()σν2νπ−−−√1νx−μσ)2]−ν+12∫∞−∞Γ()ν+12Γ()σν2νπ−−−√1νx−μσ)2]−ν+12E（X）=μ[1+(dx=μ∫∞−∞Γ()ν+12Γ()σν2νπ−−−√1νx−μσ)2]−ν+12Var(X)=(x−μp(x；μ,,ν)dx∫∞−∞)2σ2t=x−μσ=σ[1+dt∫∞−∞σ2t2Γ()ν+12Γ()σν2νπ−−−√t2ν]−ν+12=ν[1+dt−ν[1+dtσ3∫∞−∞Γ()ν+12Γ()σν2νπ−−−√t2ν]−(ν−2)+12σ3∫∞−∞Γ()ν+12Γ()σν2νπ−−−√t2ν]−ν+12p(x；μ,,ν)dx=[1+(dx∫∞−∞σ2∫∞−∞Γ()ν+12Γ()σν2νπ−−−√1νx−μσ)2]−ν+12Γ()−2014年12月31日高等统计学:1.18-数据科学网:_1.182/2可知，又对于：有因此，结论得证。(返回高等统计学习题及解答)(返回高等统计学)取自“=高等统计学:_1.18&oldid=2315”本页面最后修改于2014年12月18日(星期四)18:43。本页面已经被访问过80次。除非另有声明，本网站内容采用CreativeCommonsAttribution-NonCommercial-ShareAlike4.0InternationalLicense授权。=σ[1+dt=1∫∞−∞Γ()ν+12Γ()σν2νπ−−−√t2ν]−ν+12[1+dt=∫∞−∞Γ()ν+12Γ()σν2νπ−−−√t2ν]−ν+121σ[1+dt∫∞−∞Γ()ν+12Γ()σν2νπ√t2ν]−(ν−2)+12[1+dt∫∞−∞Γ()ν+12Γ()σν2νπ−−−√t2ν]−(ν−2)+12=[1+dt∫∞−∞Γ()ν−12ν−12Γ()σν−22ν−22(ν−2)π−−−−−−−√ν−2νt2ν−2]−(ν−2)+12ν−2−−−−−√ν√=ν−1ν−21σVar(X)=ν（−）=,ν2σ3ν−1ν−21σ1σνσ2ν−22014年12月31日高等统计学:1.20-数据科学网:_1.201/1高等统计学:1.20来自数据科学网习题1.20设,在给定的条件下，求的条件分布。习题解答所以，即取自“=高等统计学:_1.20&oldid=3268”本页面最后修改于2014年12月28日(星期日)07:55。本页面已经被访问过21次。除非另有声明，本网站内容采用CreativeCommonsAttribution-NonCommercial-ShareAlike4.0InternationalLicense授权。(,⋯,)∼M(n,,⋯,)X1Xnp1pr=X2n2X1P(=|=)=X1n1X2n2P(=,=)X1n1X2n2P(=)X2n2=(1−−n!!!(n−−)!n1n2n1n2pn11pn22p1p2)n−−n1n2(1−n!!(n−)!n2n2pn22p2)n−n2=∗(n−)!n2!(n−−)!n1n1n2(1−−pn11p1p2)n−−n1n2(1−p2)n−n2=∗(((n−)!n2!(n−−)!n1n1n2p11−p2)n11−−p1p21−p2)n−−n1n2=∗((1−(n−)!n2!(n−−)!n1n1n2p11−p2)n1p11−p2)n−−n1n2∼M(n−,,1−)X1n2p11−p2p11−p2∼b(n−,)X1n2p11−p22014年12月17日高等统计学:1.22-数据科学网:_1.221/3高等统计学:1.22来自数据科学网习题1.22设其中与都是维向量，为阶方阵，，，为相应矩阵，且，证明：（1）；（2）与相互独立的充要条件是；（3）在给定下，的条件分布是习题解答证明：（1）由题意，设其特征函数为令，则得的边际分布函数的特征函数为X=()∼((),())X1X2Nnμ1μ2Σ11Σ21Σ12Σ22X1μ1kΣ11kΣ12Σ21Σ22||≠0Σ22∼(,)X1Nkμ1Σ11X1X2=0Σ12=X2x2X1(+(−),−)Nkμ1Σ12Σ−122x2μ2Σ11Σ12Σ−122Σ′12X∼(μ,Σ)，其中，μ=()，Σ=()Nnμ1μ2Σ11Σ21Σ12Σ22f(t)=E(X)eit′=exp{iμ−Σt}t′12t′=exp{i()−()()}()t1t2′μ1μ212()t1t2′Σ11Σ21Σ12Σ22t1t2=exp{i(+)−(+++)}t′1μ1t′2μ212t′1Σ11t1t′2Σ21t1t′1Σ12t2t′2Σ22t2=0t2X1()=(,0)=exp{i−}f1t1f1,2t1t′1μ112t′1Σ11t1∴∼(,)X1Nkμ1Σ112014年12月17日高等统计学:1.22-数据科学网:_1.222/3（2）充分性：对比上述二式，可得必要性：综上所述，与相互独立的充要条件是。(3)对，作线性变换使与独立。则，仍然服从联合正态分布且有。f(,)t1t2=exp{iμ−Σt}t′12t′=exp{i(+)−(+++)}t′1μ1t′2μ212t′1Σ11t1t′2Σ21t1t′1Σ12t2t′2Σ22t2∵与相互独立X1X2∴f(,)t1t2=f()⋅f()t1t2=exp{i(+)−(+)}t′1μ1t′2μ212t′1Σ11t1t′2Σ22t2+=0t′2Σ21t1t′1Σ12t2∵(=t′2Σ21t1)′t′1Σ12t2∴=0t′1Σ12t2∴=0Σ12∵=0Σ12∴==0t′2Σ21t1t′1Σ12t2则(，)f,X1X2t1t2=exp{i(+)−(+++)}t′1μ1t′2μ212t′1Σ11t1t′2Σ21t1t′1Σ12t2t′2Σ22t2=exp{i(+)−(+)}t′1μ1t′2μ212t′1Σ11t1t′2Σ22t2=exp{i−}⋅exp{i−}t′1μ112t′1Σ11t1t′2μ212t′2Σ22t2=()⋅()fX1t1fX2t2∴与相互独立X1X2X1X2=0Σ12X1X2{=+AY1X1X2=Y2X2Y1Y2Y1Y2Cov(,)=0Y1Y2Cov(,)12=E()−E()⋅E(Y1Y′Y1Y2)′2014年12月17日高等统计学:1.22-数据科学网:_1.223/3在给定下，的条件分布是（返回高等统计学习题及解答）（返回高等统计学）取自“=高等统计学:_1.22&oldid=1247”本页面最后修改于2014年12月12日(星期五)14:16。本页面已经被访问过22次。除非另有声明，本网站内容采用CreativeCommonsAttribution-NonCommercial-ShareAlike4.0InternationalLicense授权。Cov(,)Y1Y2=E()−E()⋅E(Y1Y′2Y1Y2)′=E[(+A)]−(+A)X1X2X′2μ1μ2μ′2=E()+AE()−−AX1X′2X2X′2μ1μ′2μ2μ′2=[E()−]+A[E()−]X1X′2μ1μ′2X2X′2μ2μ′2=+A=0Σ12Σ22∴A=−Σ12Σ−122∴=−Y1X1Σ12Σ−122X2∵变换的雅克比行列式J==1∣∣∣10A1∣∣∣∴P(,)=P(,)⋅|J|=P(,)=P()⋅P()X1X2Y1Y2Y1Y2Y1Y2∴P(|)===P()=P(−)X1X2P(,)X1X2P()X2P()⋅P()Y1Y2P()Y2Y1X1Σ12Σ−122X2E(−)X1Σ12Σ−122X2=E()−E()X1Σ12Σ−122X2=−μ1Σ12Σ−122μ2Var(−)X1Σ12Σ−122X2=Var()+Var()[−2Cov(,)X1Σ12Σ−122X2Σ12Σ−122]′Σ12Σ−122X1X2=+−2Σ11Σ12Σ−122Σ22Σ−122Σ′12Σ12Σ−122Σ′12=−Σ11Σ12Σ−122Σ′12∴=X2x2X1(+(−),−)Nkμ1Σ12Σ−122x2μ2Σ11Σ12Σ−122Σ′122014年12月17日高等统计学:1.27-数据科学网:_1.271/3目录1习题1.272习题解答2.1第一问2.2第二问高等统计学:1.27来自数据科学网习题1.27设，，且与相互独立，证明：1.与相互独立，且；2.与相互独立，且.习题解答第一问分布:令，则且则x，y的联合分布密度函数为则y的边缘分布密度函数为分布:令，则且则x，y的联合分布密度函数为则y的边缘分布密度函数为∼Ga(,λ)X1α1∼Ga(,λ)X2α2X1X2=+Y1X1X2=/(+)Y2X1X1X2∼Be(,)Y2α1α2=+Y1X1X2=/Y3X1X2∼Z(,)Y3α1α2Y1X=,Y=+X1X1X2{=XX1=Y−XX2|J|==1∣∣∣10−11∣∣∣p(x,y)=p(,)|J|=x1x2λα1Γ()α1x−1α1e−λxλα2Γ()α2(y−x)−1α2e−λ(y−x)p(x,y)=p(x,y)dx=dx∫+∞−∞∫+∞−∞λα1Γ()α1x−1α1e−λxλα2Γ()α2(y−x)−1α2e−λ(y−x)=d=λα1+α2e−λyy+−1α1α2Γ(+)α1α2∫+∞−∞Γ(+)α1α2Γ(+)α1α2()xy−1α1(1−)xy−1α2xyλα1+α2e−λyy+−1α1α2Γ(+)α1α2Y2X=,Y=/(+)X1X1X1X2{=XX1=−XX2XY|J|==−∣∣∣∣10−11y−xy2∣∣∣∣xy2p(x,y)=p(