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1aab三角形的初步知识1一、三角形的基本概念：1、三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。三角形ABC记作：△ABC。2、相关概念：三角形的边：组成三角形的三条线段。记作：AB、AC、BC。三角形的内角：每两条边所组成的角（简称三角形的角）。记作：∠A、∠B、∠C3、三角形的分类：等边三角形一般等腰三角形等腰三角形不等腰三角形按边分：三角形)1(钝角三角形等腰直角三角形一般直角三角形直角三角形锐角三角形按角分：三角形)2(二、三角形三边关系：1、三角形任何两边的和大于第三边。几何语言：若a、b、c为△ABC的三边，则a+bc,a+cb,b+ca.？？这个在实际解题中该怎样应用？2、三边关系也可表述为：三角形任何两边的差都小于第三边。三、三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于1800。几何语言：△ABC中，∠A+∠B+∠C=1800。四、三角形的三线：问题1、如何作三角形的高线、角平分线、中线？问题2、三角形的高线、角平分线、中线各有多少条，它们的交点在什么位置？问题3、三角形的中线有什么应用？CBA2例题与练习例1、如图，在△ABC中，D、E是BC、AC上的两点，连接BE、AD交于点F。问：（1）、图中有多少个三角形？把它们表示出来。（2）、△AEF的三条边是什么？三个角是什么？练习：右图中有几个三角形例2、已知线段abc满足a+b+c=24cm,a:b=3:4,b+2a=2c,问能否以a、b、c为三边组成三角形，如果能，试求出这三边，如果不能，请说明理由。练习1、四组线段的长度分别为2，3，4；3，4，7；2，6，4；7，10，2。其中能摆成三角形的有（）A．一组B．二组C．三组D．四组2、已知三角形两条边长分别为13厘米和6厘米，那么第三边长应是多少厘米？3、已知三角形两条边长分别为19厘米和8厘米，第三边与其中一边相等，那么第三边长应是多少厘米？例3、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，求三角形各角的度数，并判断它是什么三角形。练习：1、在△ABC中，若∠A－∠B=∠C，则此三角形是（）A、钝角三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、无法确定2、如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC=()A、150°B、100°C、120°D、130°3、在△ABC中，如果∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶4，则这个三角形中最大的角_______度；按角分，这是一个_________三角形；按边分，这是一个_________三角形；例4、如图，AE、AH分别为△ABC的角平分线和高，∠B=∠BAC，∠C=360。求∠BAE和∠HAE的度数。BACEH3EDCBA练习：1、如图，在△ABC中，∠BAC=600，∠C=400，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADC的度数。2、如图，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，D、E分别在△ABC的边AB和BC上，则下列说法中①△ABC中，AC是BC边上的高；②△BCD中，DE是BC边上的高。③△DBE中，DE是BE边上的高；④△ACD中，AD是CD边上的高。其中正确的为。强化提升题：1、判断下列长度的三条线段能否组成三角形，并说明理由。（单位：cm）k+1；k+22k+2（k＞2）2、若abc为三角形的三条边长，化简bacbcacba=3、已知三角形的三条边长分别为3，x，9，化简____________32143-3xx4、如图，AD是△ABC的中线E是AD的中点，则图中面积相等的三角形共有对。5、已知：如图，在△ABC，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°，求∠AEC的度数6、如图（1）如图（1），在△ABC中，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线．若∠A为x°，则∠BOC为多少？（2）如图（2），BO、CO为△ABC两外角∠DBC、∠BCE的平分线，若∠A为x°，则∠BOC为多少？（3）如图（3），BO、CO为△ABC一内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，若∠A为x°，则∠BOC为多少？ABCDEABCD4八年级上册第二章《特殊三角形》复习一、知识结构本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：等腰Rt两直角三角形全等的判定直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形等腰三角形特殊三角形二、重点回顾1．等腰三角形的性质：等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。2．等腰三角形的判定：有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？3．等边三角形的性质：等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。4．等边三角形的判定：有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______三角形是等边三角形。5．直角三角形的性质：直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。30°角所对的直角边等于斜边的________6．直角三角形的判定：有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。7．直角三角形全等的判定：斜边和___________对应相等的两个直角三角形全等。8．角平分线的性质：在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。三、重点解读1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角5FEOBCAFEOBCA12DEFBCADEABC形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”；3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5；5．“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样有效。切记!!!两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，也就是边边角，没有边边角定理。因此在证明全等时千万不要这样做。本章解题时用到的主要数学思想方法：⑴分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中）（留意后面的例题）⑵方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长（留意后面的例题）⑶等面积法四、典型例题（一）、角平分线+平行线1、在△ABC中，三内角互不相等，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。过O点作EF,使EF∥BC。（1）图中有几个等腰三角形？（2）猜测线段BE、CF、EF有什么数量关系，并说明理由。2、在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB,过O点作EF，使EF∥BC，且∠EBO=30°。若BE=5，△ABC的周长为_________。（二）、角平分线+垂线3、如图：AB=AC，∠1=∠2，AE⊥CD于F交BC于点E，求证：AB=CE。4、如图，△ABC是等腰直角三角形，其中∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD=2CE6EDCABFFEABCDMNDBACE(三)、直角三角形的一个锐角平分线+斜边上的高线5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB于D，它们交于点F，△CFE是等腰三角形吗？试说明理由.（四）、等边三角形的几个基本图形：6、等边三角形ABC中，BD=CE，连接AD、BE交于点F。∠AFE=_________。7、如图点A、C、E在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，M、N分别是AD、BE的中点。说明：△CMN是等边三角形。8、已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在一边BC上（图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h，请你探索以下问题：当点P在△ABC内（图2）和点P在△ABC外（图3）这两种情况时，h1、h2、h3与h之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由．BADCEPBADCFEPBADCFEP（五）、等腰直角三角形的几个基本应用9、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥M于E。(1)当直线MN绕点C旋转到图1位置时，说明△ADC≌△CEB的理由；(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时，说明DE=AD－BE的理由；7AABBCCDDEEMMNN图1AABBCCDDEEMMNN图2AABBCCDDMMNN图3CMABEDABCD(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由.10、如图，在直角△ABC中，∠C=90，AC=BC，D，E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点。求证：△MDE是等腰直角三角形。（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理与方程11、观察下面表格中所给出的三个数a，b，c，其中a，b，c为正整数，且abc（1）：试找出他们的共同点，并证明你的结论（2）：当a=21时，求b，c的值12、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ。（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．13、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积分析：对于没有图形的大题（指需要过程的题目），最好自己画图，与人方便，与己方便。,3,4,532+42=525,12,1352+122=1327,24,2572+242=2529,40,4192+402=412……..……21,b,c212+b2=c28解：设这个等腰三角形为ABC，高为AD，设BD为x，则AB为（16-x），由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即x2+64=256-32x+x2∴x=6∴S∆ABC=BC•AD/2=2•6•8/2=4814、矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。（七）、需要分类讨论的（主要是由语言的模糊造成要讨论）有