【创新设计】2016高考数学一轮复习 2-4 二次函数与幂函数课件 新人教A版必修1

课堂总结第4讲二次函数与幂函数最新考纲1.会用二次函数的图象理解、分析、研究二次函数的性质；2.了解幂函数的概念；3.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，了解它们的变化情况．课堂总结1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝________________．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质知识梳理ax2＋bx＋c(a≠0)课堂总结解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域_________________________________________4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a课堂总结单调性在x∈－∞，－b2a上单调递减；在x∈_______________上单调递增在x∈________________上单调递增；在x∈－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称－b2a，＋∞－∞，－b2a课堂总结2.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如______的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象y＝xα课堂总结(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR__________{x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)_________________奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点(0，0)，(1，1)(1，1)y＝x12[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}课堂总结诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)幂函数的图象都经过点(1，1)和(0，0)．()(2)幂函数的图象不经过第四象限．()(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()√×××课堂总结答案B2．(2015·湛江二模)若关于x的方程x2＋mx＋14＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－1，1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2，2)解析因为关于x的方程x2＋mx＋14＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝m2－4×14×1＞0，即m2＞1，解得m＜－1或m＞1，故选B.课堂总结3.（3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B.92C．3D.322解析因为（3－a）（a＋6）＝18－3a－a2＝－a＋322＋814，由于－6≤a≤3，所以当a＝－32时，（3－a）（a＋6）有最大值92.答案B课堂总结4．函数y＝的图象是()解析显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，＞x；当x＞1时，＜x，知只有B选项符合．答案B课堂总结5．(人教A必修1P82A10改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点2，22，则此函数的解析式为_______；在区间_______上递减．答案y＝x－12(0，＋∞)课堂总结考点一二次函数的图象及应用【例1】(1)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()课堂总结(2)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝()A．a2－2a－16B．a2＋2a－16C．－16D．16解析(1)由A，C，D知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－b2a＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－b2a＜0，B错误．课堂总结(2)令f(x)＝g(x)，即x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，即x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a＋2或x＝a－2.f(x)与g(x)的图象如图．由图象及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a＋2)，H2(x)的最大值为g(a－2)，∴A－B＝f(a＋2)－g(a－2)＝(a＋2)2－2(a＋2)2＋a2＋(a－2)2－2(a－2)(a－2)＋a2－8＝－16.答案(1)D(2)C课堂总结规律方法(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)而用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．课堂总结【训练1】(2014·杭州模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是()A．②④B．①④C．②③D．①③课堂总结解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．答案B课堂总结考点二二次函数在给定区间上的最值问题【例2】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．解①当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2.深度思考本题是对称轴动而区间不动，你应该考虑对称轴x＝1a与区间[0，1]的位置关系，结合图形分析确定分类讨论的标准．②当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝1a.课堂总结当1a≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]内，∴f(x)在0，1a上递减，在1a，1上递增．∴f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a.当1a＞1，即0＜a＜1时，f(x)＝ax2－2x的图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f(x)在[0，1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.课堂总结③当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝1a＜0，在y轴的左侧，∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上递减．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.综上所述，f(x)min＝a－2，a＜1，－1a，a≥1.课堂总结规律方法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．课堂总结【训练2】若将例2中的函数改为f(x)＝x2－2ax，其他不变，应如何求解？解∵f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，对称轴为x＝a.①当a＜0时，f(x)在[0，1]上是增函数，∴f(x)min＝f(0)＝0.②当0≤a≤1时，f(x)min＝f(a)＝－a2.③当a＞1时，f(x)在[0，1]上是减函数，∴f(x)min＝f(1)＝1－2a，综上所述，f(x)min＝0，a＜0，－a2，0≤a≤1，1－2a，a＞1.课堂总结考点三幂函数的图象和性质【例3】(1)(2014·韶关质检)已知点33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数(2)1.112，0.912，1的大小关系为________．课堂总结解析(1)设f(x)＝xα，由已知得33α＝3，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．(2)把1看作112，幂函数y＝x12在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴0.912＜112＜1.112.即0.912＜1＜1.112.答案(1)A(2)0.912＜1＜1.112课堂总结规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式．(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．课堂总结【训练3】(1)已知幂函数f(x)＝(t2－t＋1)·(t∈N)是偶函数，则实数t的值为()A．0B．－1或1C．1D．0或1(2)(2014·潍坊模拟)当0＜x＜1时，函数f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．解析(1)因为函数为幂函数，所以t2－t＋1＝1，即t2－t＝0，所以t＝0或t＝1.当t＝0时，函数为f(x)＝为奇函数，不满足条件．当t＝1时，f(x)＝为偶函数，所以t＝1.(2)如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知，h(x)＞g(x)＞f(x)．课堂总结答案(1)C(2)h(x)＞g(x)＞f(x)课堂总结[思想方法]1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象和性质求解．2．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α＞0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α＜0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立．课堂总结[易错防范]1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.